Сколько корней имеет уравнение √2 cos(90+x)sin(90-x)=sin(270+x), находящихся в интервале (-250;150)?

Тема занятия: Решение тригонометрического уравнения

Объяснение: Для решения данного уравнения нам необходимо применить тригонометрические тождества и свойства, а также некоторые математические преобразования. Давайте начнем с преобразования данного уравнения.

1. Выполним раскрытие скобок и заменим тригонометрические функции на эквивалентные тригонометрические выражения, используя соответствующие тригонометрические тождества:

√2 cos(90+x)sin(90-x) = sin(270+x)
√2(cos(90)cos(x) - sin(90)sin(x))sin(90) = sin(270)cos(x) + cos(270)sin(x)
√2(-sin(x))sin(90) = (-cos(x))(-1) + 0
-√2sin(x) = cos(x)

2. Теперь приведем данное уравнение к единой тригонометрической функции:

√2sin(x) + cos(x) = 0

3. Для нахождения корней данного уравнения мы можем воспользоваться графиком или применить метод решения тригонометрических уравнений. В данном случае, можно обратить внимание на то, что данное уравнение представляет собой сумму синуса и косинуса.

4. Сумма синуса и косинуса равна нулю только в двух случаях:

a) sin(x) = 0 и cos(x) = 0, что означает, что корни находятся в точках, где синус и косинус равны нулю. В интервале (-250;150) нет таких точек, поэтому в данном случае нет корней.

b) sin(x) = -√2/2 и cos(x) = -√2/2, что означает, что корни находятся в точках, где синус и косинус равны -√2/2. В интервале (-250;150) такие точки существуют.

Доп. материал: В данной задаче, уравнение имеет 2 корня, которые находятся в интервале (-250;150) и соответствуют значениям, когда sin(x) = -√2/2 и cos(x) = -√2/2.

Совет: Для решения тригонометрических уравнений, полезно использовать тригонометрические тождества и свойства, а также проводить преобразования уравнений для приведения их к более удобному виду.

Дополнительное упражнение: Решите уравнение √3 cos(60+x)sin(90-x) + sin(270+x) = 0, находящееся в интервале (0; 360).