Сколько кондиционных деталей содержится в ящике среди 35 рабочих и 12 неисправных деталей? Необходимо определить закон

Содержание вопроса: Распределение случайной величины

Пояснение:
Для решения данной задачи, нам понадобится понять, как влияет случайность на выбор кондиционных деталей из ящика среди 35 рабочих и 12 неисправных деталей.

В данном случае мы имеем дело с гипергеометрическим распределением вероятности. Гипергеометрическое распределение применяется в случаях, когда выборки осуществляются без повторения, и вероятности различаются в зависимости от того, сколько различных элементов находится в начальной выборке.

Функция распределения показывает вероятность получить от 0 до k успешных элементов в выборке из N элементов, m из которых успешные и n неуспешные. Ее формула имеет вид:
F(k) = ∑ (M из к по N)*(M из M-к по N-к)/(N из M)
где M из к по N обозначает количество способов выбрать к успешных элементов из N возможных, M из M-к по N-к - количество способов выбрать M-k неуспешных элементов из N-k возможных, N из M - общее число способов выбрать k элементов из N.

Ожидаемое значение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение рассчитываются по следующим формулам:
Ожидаемое значение (mu) = N*M / (M + N)
Дисперсия (sigma^2) = N*M*(N-k)*(M-k) / [(M + N) ^ 2 * (M + N -1)]
Среднее квадратическое отклонение (sigma) = sqrt(дисперсия)

Для построения полигона для полученного распределения можно поставить на ось абсцисс количество успешных деталей в выборке, а на оси ординат - вероятность получить именно такое количество успешных деталей.

Например:
У нас в ящике есть 35 рабочих и 12 неисправных деталей. Нам необходимо определить закон распределения, функцию распределения, ожидаемое значение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение количества кондиционных деталей, выбранных трёми случайными образом.
Решение:
Здесь N = 47 (количество деталей в ящике рабочих и неисправных)
M = 35 (количество рабочих деталей в ящике)
k = 3 (количество деталей, которые выбираются случайным образом)

Функция распределения:
F(k) = ∑ (M из к по N)*(M из M-к по N-к)/(N из M)
F(0) = (12 из 0 по 47)*(35 из 3 по 47)/(47 из 35)
F(1) = (12 из 1 по 47)*(35 из 2 по 47)/(47 из 35)
F(2) = (12 из 2 по 47)*(35 из 1 по 47)/(47 из 35)
F(3) = (12 из 3 по 47)*(35 из 0 по 47)/(47 из 35)

Ожидаемое значение (mu) = N*M / (M + N) = 47*35 / (35+12) = 28
Дисперсия (sigma^2) = N*M*(N-k)*(M-k) / [(M + N) ^ 2 * (M + N -1)] = 47*35*(47-3)*(35-3) / [(35+12)^2*(35+12-1)] = 26.70
Среднее квадратическое отклонение (sigma) = sqrt(дисперсия) = sqrt(26.70) = 5.17

Таким образом, мы определили закон распределения, функцию распределения, ожидаемое значение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для количества кондиционных деталей, выбранных трёми случайными образом.


Совет:
Для лучшего понимания концепции гипергеометрического распределения и самого решения задачи, рекомендуется ознакомиться с теоретическим материалом по статистике и изучить главу, связанную с гипергеометрическим распределением. Также рекомендуется прорешать несколько примеров, чтобы закрепить навыки в решении задач на данную тему.

Дополнительное упражнение:
Представьте, что в ящике находится 40 рабочих деталей и 10 неисправных деталей. Необходимо определить закон распределения, функцию распределения, ожидаемое значение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение количества кондиционных деталей, выбранных четырьмя случайными образом. Какой полигон можно построить для полученного распределения?

Содержание вопроса: Распределение случайной величины

Описание: Для решения данной задачи требуется использовать биномиальное распределение, так как мы имеем два исхода: деталь может быть либо рабочей, либо неисправной. Биномиальное распределение описывает количество успехов (в нашем случае, кондиционных деталей) в серии независимых испытаний (выбранные три детали).

Шаг 1: Определение параметров
Параметры нашего биномиального распределения:
n - количество испытаний (выбранных деталей) = 3
p - вероятность успеха (кондиционной детали) = (количество кондиционных деталей) / (общее количество деталей)
q - вероятность неудачи (неисправной детали) = 1 - p

Шаг 2: Определение закона распределения
Формула для расчета закона распределения по биномиальному распределению:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)

Шаг 3: Определение функции распределения
Функция распределения представляет собой сумму вероятностей до заданного значения k.
F(X <= k) = ∑[i=0 to k] (C(n, i) * p^i * q^(n-i))

Шаг 4: Определение ожидаемого значения, дисперсии и среднего квадратического отклонения
Ожидаемое значение (математическое ожидание) E(X) = n * p
Дисперсия Var(X) = n * p * q
Среднее квадратическое отклонение σ = √(Var(X))

Шаг 5: Построение полигона для полученного распределения
Полигон – это графическое представление биномиального распределения. На горизонтальной оси откладывают количество кондиционных деталей (k), а на вертикальной оси – вероятность P(X = k). Точки соединяют прямыми линиями. Отображение полигона позволяет наглядно представить распределение и его особенности.

Демонстрация:
Для решения данной задачи, мы должны знать количество кондиционных деталей и общее количество деталей в ящике. Допустим, изначально в ящике содержится 23 кондиционные детали и 35 рабочих деталей. Тогда количество неисправных деталей будет 12 (общее количество деталей = 35 + 12 = 47).
Теперь мы можем приступить к последовательному решению задачи: вычислению закона распределения, функции распределения, ожидаемого значения, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Затем, можно построить полигон для полученного распределения.

Совет: Для лучшего понимания и визуализации биномиального распределения, рекомендуется использовать графические программы, такие как Microsoft Excel или Google Sheets, для построения полигона и визуализации распределения.

Задача для проверки:
В ящике содержится 40 рабочих и 8 неисправных деталей. Необходимо определить закон распределения, функцию распределения, ожидаемое значение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение количества кондиционных деталей, выбранных пятью случайными образом. Постройте полигон для полученного распределения.