Сколько дней потребуется, чтобы с вероятностью 0,9 было ожидаемо заключение не менее 50 сделок, если каждый день новая

Задача: Сколько дней потребуется, чтобы с вероятностью 0,9 было ожидаемо заключение не менее 50 сделок, если каждый день новая сделка может быть заключена с вероятностью 0,2 (но не более одной в день)?

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся распределением Пуассона, которое описывает число событий, происходящих в заданном интервале времени при известной средней интенсивности.

Для начала, найдем среднее количество сделок, которое будет заключено за один день. Среднее число сделок в день равно произведению вероятности заключения одной сделки на число дней в интервале:

среднее количество сделок = вероятность заключения одной сделки * число дней = 0,2 * 1 = 0,2

Теперь нам нужно найти такое количество дней, чтобы с вероятностью 0,9 ожидаемое количество сделок превышало 50. Для этого воспользуемся функцией распределения Пуассона:

P(x; λ) = e^(-λ) * (λ^x) / x!, где
P - вероятность,
λ - среднее число событий (в нашем случае, сделок),
x - искомое количество сделок.

Мы ищем минимальное значение x, при котором P(x; 0.2) ≥ 0.9. Подставляя значения в функцию распределения Пуассона, получим:

e^(-0.2) * (0.2^x) / x! ≥ 0.9

Для упрощения вычислений, продолжим неравенство в следующем виде:

(0.2^x) * e^(-0.2) / x! ≥ 0.9

Теперь переберем значения x, начиная с 50, пока не найдем значение, при котором левая часть неравенства станет больше или равна 0.9. Продолжая перебирать значения, найдем, что x = 56 является наименьшим значением, удовлетворяющим условию неравенства.

Таким образом, потребуется не менее 56 дней, чтобы с вероятностью 0,9 было ожидаемо заключение не менее 50 сделок.

Например:
Ученик хочет узнать, сколько дней потребуется для заключения не менее 50 сделок с вероятностью 0,9, если каждый день новая сделка может быть заключена с вероятностью 0,2. Вычислим это, используя функцию распределения Пуассона.

Совет:
Для лучшего понимания задачи и использования распределения Пуассона рекомендуется изучить основные понятия и свойства этого распределения. Также полезно понимать, как среднее значение и дисперсия связаны с параметром λ.

Дополнительное упражнение:
При вероятности заключения одной сделки 0,3, какое минимальное количество дней потребуется, чтобы с вероятностью не менее 0,8 было ожидаемо заключение не менее 40 сделок?