Рассчитайте выражение: 7tg2π4−ctg2π4−sinπ3cosπ6

Тема: Расчет выражения с тригонометрическими функциями

Разъяснение: Для рассчета данного выражения нам понадобятся знания о тригонометрических функциях и их значениях в специальных точках на единичной окружности.

Преобразуем выражение по шагам:

1. Начнем с расчета значений функций тангенса (tg) и котангенса (ctg) в специальных точках. В этих точках углы равны π/4, π/3 и π/6.
- tg(π/4) = 1, так как стороны прямоугольного треугольника, образованного радиусом и прямой линии, касающейся окружности, равны по длине.
- ctg(π/4) = 1/tg(π/4) = 1/1 = 1
- tg(π/3) = √3, так как противоположная сторона равна √3 раз длине прилежащей стороны.
- ctg(π/3) = 1/tg(π/3) = 1/√3
- tg(π/6) = 1/√3
- ctg(π/6) = 1/tg(π/6) = √3

2. Теперь подставим найденные значения в выражение:
- 7tg(π/4) - ctg(π/4) - sin(π/3) * cos(π/6)
- 7 * 1 - 1 - sin(π/3) * cos(π/6)
- 7 - 1 - sin(60°) * cos(30°)
- 6 - sin(60°) * cos(30°)

3. Зная, что sin(60°) = √3/2 и cos(30°) = √3/2, подставим значения:
- 6 - (√3/2 * √3/2)
- 6 - (3/4)
- 6 - 3/4
- (24 - 3)/4
- 21/4

Таким образом, получаем ответ: 21/4.

Совет: Чтобы лучше понять тригонометрические функции и их значения, рекомендуется изучить основные свойства этих функций и ознакомиться с таблицей значений для углов специальных точек на единичной окружности.

Задание: Рассчитайте значение выражения: 2sin(4π/3) + cos(7π/6).