Прокомментируйте доказательство непрерывности функции f(x), заданной на всей вещественной прямой, при условии

Тема: Доказательство непрерывности функции f(x)

Разъяснение: Доказательство непрерывности функции f(x), заданной на всей вещественной прямой, может быть проведено с использованием аргументации на основе суммы двух функций. По условию, для любого a > 1 функция f(x) + f(ax) непрерывна на всей прямой.

Рассмотрим точку x0 на вещественной прямой и покажем, что функция f(x) непрерывна в этой точке. Для этого необходимо доказать, что предел функции f(x) при x, стремящемся к x0, равен f(x0).

Из условия задачи известно, что функция f(x) + f(ax) непрерывна в каждой точке, включая точку x0. Тогда предел суммы f(x) + f(ax) будет равен сумме пределов f(x) и f(ax) при x, стремящемся к x0.

Таким образом, предел f(x) при x, стремящемся к x0, будет равен пределу суммы f(x) + f(ax), который, согласно условию, равен f(x0) + f(ax0). Следовательно, получаем равенство предела f(x) равен f(x0), что и доказывает непрерывность функции f(x) в точке x0.

Замечание: Доказательство непрерывности функции f(x) основано на условии непрерывности суммы f(x) + f(ax) на всей вещественной прямой.

Дополнительное задание: Доказать непрерывность функции g(x) = sin(x) + sin(ax), заданной на всей вещественной прямой, где a > 1.