При каких значениях λ система векторов {a₁, a₂} будет линейно независимой, так чтобы система {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} также

Тема: Линейная независимость векторов

Описание:
Для того чтобы система векторов {a₁, a₂} была линейно независимой, необходимо, чтобы ни один из векторов не мог быть представлен в виде линейной комбинации другого вектора. В данной задаче, для того чтобы система {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} также оставалась линейно независимой, условие линейной независимости должно выполняться и для новой системы векторов.

Давайте рассмотрим это подробнее. Пусть λa₁ + a₂ = 0, а a₁ + λa₂ = 0, где 0 - нулевой вектор. Распишем эти равенства:

λa₁ + a₂ = 0 (уравнение 1)
a₁ + λa₂ = 0 (уравнение 2)

Из уравнения 1 можно выразить a₂:
a₂ = -λa₁ (уравнение 3)

Подставим уравнение 3 в уравнение 2:
a₁ + λ(-λa₁) = 0
a₁ - λ²a₁ = 0
(1 - λ²)a₁ = 0

Так как система должна оставаться линейно независимой, то a₁ ≠ 0, и значит (1 - λ²) должно равняться нулю:

1 - λ² = 0
λ² = 1
λ = ±1

Таким образом, значения λ, при которых система векторов {a₁, a₂} будет линейно независимой, так чтобы система {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} также оставалась линейно независимой, равны λ ≠ 1, λ ≠ -1.

Доп. материал:
Дана система векторов a₁ = (1, 3), a₂ = (4, 2).
Проверим, при каких значениях λ система векторов {a₁, a₂} будет линейно независимой, так чтобы система {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} также оставалась линейно независимой.

λa₁ + a₂ = (λ + 4, 3λ + 2)
a₁ + λa₂ = (1 + 4λ, 3 + 2λ)

Выполнив расчеты, мы можем установить, что система векторов будет линейно независимой при λ ≠ 1 и λ ≠ -1.

Совет:
Для понимания линейной независимости векторов, рекомендуется изучить определение и основные свойства линейных комбинаций, а также рассмотреть примеры и практические задания по этой теме. Вы можете проводить собственные эксперименты, изменяя значения λ и наблюдая, как это влияет на линейную независимость системы векторов.

Дополнительное задание:
Дана система векторов a₁ = (2, -3), a₂ = (-4, 6). Найдите значения λ, при которых система векторов {a₁, a₂} будет линейно независимой, так чтобы система {λa₁ + a₂, a₁ + λa₂} также оставалась линейно независимой.