При каких значениях параметра a уравнение sin(x+4a)+sin((x^2-6x-7a)/2)=4x-x^2-a не имеет решений в действительных

Тема: Решение уравнения с использованием тригонометрии

Пояснение: Для решения этого уравнения, напишем его в более удобной форме: sin(x+4a)+sin((x^2-6x-7a)/2)=4x-x^2-a. Чтобы уравнение не имело решений в действительных числах, мы должны найти значения параметра a, при которых левая и правая части уравнения не пересекаются.

Мы знаем, что амплитуда синуса лежит в диапазоне от -1 до 1. Когда два синуса сложены, их сумма также будет находиться в диапазоне от -2 до 2. Но в нашем уравнении мы имеем (4x-x^2-a), что может принимать любое значение на оси x. Значит, чтобы уравнение не имело решений, необходимо, чтобы левая часть была в диапазоне от -2 до 2.

Получим неравенство: -2 ≤ sin(x+4a)+sin((x^2-6x-7a)/2) ≤ 2. Теперь мы можем решить это неравенство относительно параметра a.

Пример использования: Решим уравнение при a = 3.
-2 ≤ sin(x+12)+sin((x^2-6x-21)/2) ≤ 2.

Совет: Для более простого решения уравнения, можно использовать график синусоиды и график квадратичной функции и найти точки их пересечения.

Практика: При каких значениях параметра a уравнение sin(2a)+sin(4a)=1 не имеет решений в действительных числах?