При каких значениях m векторы а(1; -2; 3) и с(7; m; 21) будут: 1) параллельными; 2) ортогональными?

Тема: Векторы в трехмерном пространстве

Описание: Векторы в трехмерном пространстве определяются набором чисел, которые представляют их координаты в трех ортогональных (перпендикулярных) направлениях. Чтобы определить, являются ли два вектора параллельными или ортогональными между собой, мы можем воспользоваться понятием скалярного произведения векторов.

1) Для двух векторов а и с, они будут параллельными, если и только если их направляющие числа пропорциональны друг другу. Из данной задачи, мы знаем, что вектор а имеет координаты (1, -2, 3), а вектор с имеет координаты (7, m, 21). Чтобы эти векторы были параллельными, необходимо, чтобы их направляющие числа были пропорциональны. Это означает, что каждая координата вектора с должна быть кратна соответствующей координате вектора а.

Таким образом, для значений m, чтобы векторы а и с были параллельными, m должно быть равно -4.

2) Для двух векторов а и с, они будут ортогональными, если и только если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов а и с равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов. То есть, для векторов а(1, -2, 3) и с(7, m, 21) ортогональность будет выполнена, когда:

1 * 7 + (-2) * m + 3 * 21 = 0.

Выражая это в уравнение, получим:

7 - 2m + 63 = 0,

61 - 2m = 0,

-2m = -61,

m = 30,5.

Таким образом, для значений m, чтобы векторы а и с были ортогональными, m должно быть равно 30,5.

Совет: Векторы в трехмерном пространстве удобно представлять себе в виде направленных отрезков или стрелок. Это поможет лучше визуализировать и понять их свойства, такие как параллельность и ортогональность.

Упражнение: Даны два вектора а(2, -3, 1) и b(5, 1, -2). Определите, являются ли они параллельными или ортогональными.