При каких целых значениях n функция y=lg(nx^2-5x+1) имеет область определения (-∞; 1/4] U [1; +∞)? Заранее

Тема занятия: Функции с логарифмическими выражениями

Описание:
Для того чтобы определить область определения функции y=lg(nx^2-5x+1), мы должны решить неравенство, которое ограничивает значения аргумента log(x), чтобы оно оставалось внутри допустимого интервала (-∞, 1/4] U [1, +∞).

Первым шагом необходимо исключить значения, при которых аргумент log(nx^2-5x+1) выходит за пределы допустимого интервала (-∞, 1/4] U [1, +∞). Для этого мы решаем неравенство:

nx^2-5x+1 > 0

Далее, найдя корни уравнения nx^2-5x+1 = 0, мы должны разбить ось x на интервалы, используя эти корни. Затем проверяем наличие и знак функции y=lg(nx^2-5x+1) внутри каждого интервала, чтобы определить, в каких интервалах значение функции входит в заданную область определения.

Например:
Найдем область определения функции y=lg(nx^2-5x+1), при условии (-∞; 1/4] U [1; +∞) и n = 2.

Решение:
1. Решаем неравенство:

2x^2 - 5x + 1 > 0

2. Найдем корни уравнения:

x1 = (-(-5) + sqrt((-5)^2 - 4 * 2 * 1)) / (2 * 2)

x1 = (5 + sqrt(17)) / 4

x2 = (-(-5) - sqrt((-5)^2 - 4 * 2 * 1)) / (2 * 2)

x2 = (5 - sqrt(17)) / 4

3. Разбиваем ось x на интервалы:

(-∞, (5 - sqrt(17))/4), ((5 + sqrt(17))/4, +∞)

4. Проверяем знак функции y=lg(nx^2-5x+1) внутри каждого интервала:

-∞ < x < (5 - sqrt(17))/4: y < 0 (вне области определения)
(5 + sqrt(17))/4 < x < +∞: y > 0 (входит в область определения)

Область определения функции y=lg(nx^2-5x+1) при n=2: ((5 + sqrt(17))/4, +∞)

Совет:
Для более легкого понимания этой темы, важно внимательно изучить переходы от логарифмических выражений к алгебраическим, изучать свойства логарифмов и разбирать задачи постепенно, останавливаясь на каждом шаге и обосновывая свои действия.

Практика:
Найдите область определения функции y=lg(3x^2+2x-1), при условии (-∞; 1/2] U [1; +∞). Какие значения x входят в эту область определения?