Представьте, пожалуйста, несколько вариантов решений следующих неравенств: a) Найдите все значения x, для которых

Неравенство |x + 4,2| < 1,4

Описание: Для решения данного неравенства, нужно рассмотреть два случая:

1) Если (x + 4,2) положительно или равно нулю, то неравенство можно записать в виде (x + 4,2) < 1,4. Решаем данное неравенство: x + 4,2 < 1,4, вычитаем 4,2 из обоих частей: x < 1,4 - 4,2, x < -2,8.

2) Если (x + 4,2) отрицательно, то неравенство становится |-x - 4,2| < 1,4. Делаем замену переменной, пусть y = -x - 4,2. Тогда неравенство станет |y| < 1,4. Решаем данное неравенство: -1,4 < y < 1,4. Возвращаемся к исходной переменной: -1,4 < -x - 4,2 < 1,4. Вычитаем из всех частей -4,2: -5,6 < -x < -2,8. Меняем знаки на противоположные: 5,6 > x > 2,8.

Таким образом, решение неравенства |x + 4,2| < 1,4 состоит из двух интервалов: (-∞, -2,8) и (2,8, +∞).

Пример: Найди все значения x, для которых |x + 4,2| меньше 1,4.

Совет: При решении неравенств с модулем, всегда рассматривайте два случая. При модуле переменной, представьте его сначала как положительное число, а затем как отрицательное число.

Ещё задача: Найдите все значения x, для которых |x + 2,5| меньше 4,7.

Неравенства с модулем числа

Разъяснение: Неравенство с модулем числа может иметь два варианта решения:

1) Если модуль выражения больше некоторого числа, то нужно решить два неравенства: выражение больше этого числа и выражение меньше его по отрицанию.

2) Если модуль выражения меньше некоторого числа, то нужно решить одно неравенство: выражение меньше этого числа и выражение больше его по отрицанию.

Демонстрация:

а) Найдите все значения x, для которых |x + 4,2| меньше 1,4.

Два неравенства: x + 4,2 < 1,4 и -(x + 4,2) < 1,4. Подводя x к основному знаку, получаем x < -2,8 и -x < -5,6, откуда x > 5,6.

б) Определите все значения x, для которых |х - 8,3| больше 4.

Два неравенства: x - 8,3 > 4 и -(x - 8,3) > 4. Раскрывая скобки и перенося все влево, получаем x > 12,3 и -x > 12,3, откуда x < -12,3.

в) Найдите все значения x, для которых |10 -х| больше 7.

Два неравенства: 10 - x > 7 и -(10 - х) > 7. Подводя x к основному знаку, получаем x < 3 и -x < 17, откуда x > -17.

г) Определите все значения x, для которых |х| + 2,5 меньше 0.

Неравенство не имеет решений, так как модуль числа всегда неотрицателен, а в данном случае он должен быть меньше нуля.

д) Найдите все значения x, для которых 18 + |х| меньше 25.

Одно неравенство: 18 + x < 25 и 18 - x < 25. Раскрывая скобки и перенося все влево, получаем x < 7 и -x < 7, откуда x > -7.

е) Определите все значения x, для которых |х| + 2|х| больше 12.

Одно неравенство: 3|x| > 12. x > -4 и x < 4.

Совет: Для решения неравенств с модулем очень важно правильно определить различные случаи и проверить все варианты. Не забывайте использовать законы алгебры при раскрытии модуля.

Дополнительное задание: Решите неравенства:
а) |x - 5| > 6
б) |2x + 3| > 9
в) |3 - x| < 2