Покажите, что выражение (5n-7)(6n-1)+57n-7 делится нацело для всех натуральных значений

Тема урока: Делимость нацело

Описание: Докажем, что выражение (5n-7)(6n-1) + 57n - 7 делится нацело для всех натуральных значений n.

Рассмотрим выражение (5n-7)(6n-1) + 57n - 7. Первое слагаемое - произведение двух множителей (5n-7) и (6n-1). Второе слагаемое - 57n. Третье слагаемое - константный член -7.

Для начала упростим произведение множителей (5n-7) и (6n-1):
(5n-7)(6n-1) = 30n^2 - 5n - 42n + 7 = 30n^2 - 47n + 7.

Подставим это выражение обратно в исходное:
(5n-7)(6n-1)+57n-7 = 30n^2 - 47n + 7 + 57n - 7 = 30n^2 + 10n = 10n(3n+1).

Заметим, что 10n делится нацело на 10 для любого натурального n.

Теперь рассмотрим (3n+1). Если мы подставим вместо n какое-либо натуральное число, то получим:
Для n=1, 3n+1 = 3*1+1 = 4, 4 делится нацело на 4.
Для n=2, 3n+1 = 3*2+1 = 7, 7 делится нацело на 7.
Для n=3, 3n+1 = 3*3+1 = 10, 10 делится нацело на 10.
И так далее для любых других натуральных значений n.

Таким образом, исходное выражение (5n-7)(6n-1)+57n-7 делится нацело для всех натуральных значений n.

Совет: Для лучшего понимания и запоминания делимости нацело, полезно практиковаться в решении задач и выполнении упражнений. Важно знать основные свойства делимости, такие как свойство делимости на число 0 или на само себя. Также помните, что если одно число делится на другое без остатка, то и их сумма, разность и произведение также будут делиться нацело.

Дополнительное упражнение: Проверьте, делится ли выражение (6n-9)(4n+7) - 3n + 5 нацело для всех натуральных значений n.