Покажите, что можно найти неограниченное количество четверок разных взаимно простых натуральных чисел a, b

Имя: Доказательство бесконечности четверок разных взаимно простых натуральных чисел a, b, c, d, удовлетворяющих условию ab + cd = (a + b)(c + d)

Объяснение: Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом бесконечного спуска. Предположим, что у нас есть только конечное количество четверок чисел, удовлетворяющих данному условию. Пусть это будут числа (a₁, b₁, c₁, d₁), (a₂, b₂, c₂, d₂), ..., (aₙ, bₙ, cₙ, dₙ).

Рассмотрим новую четверку чисел (A, B, C, D), где A = (a₁ + b₁)(c₁ + d₁), B = (a₂ + b₂)(c₂ + d₂), ..., D = (aₙ + bₙ)(cₙ + dₙ). Заметим, что сумма A + B + ... + D будет больше, чем сумма (a₁ + b₁) + (c₁ + d₁) + (a₂ + b₂) + (c₂ + d₂) + ... + (aₙ + bₙ) + (cₙ + dₙ), так как каждое слагаемое будет больше соответствующего.

Однако, согласно начальному условию, ab + cd = (a + b)(c + d), что можно переписать как (a + b)(c + d) - ab - cd = 0. Заметим, что сумма A + B + ... + D - (a₁b₁ + c₁d₁ + a₂b₂ + c₂d₂ + ... + aₙbₙ + cₙdₙ) тоже будет равна 0.

Таким образом, мы получаем противоречие, так как мы доказали, что сумма A + B + ... + D больше, чем сумма (a₁ + b₁) + (c₁ + d₁) + (a₂ + b₂) + (c₂ + d₂) + ... + (aₙ + bₙ) + (cₙ + dₙ), но их суммы должны быть равны по нашему предположению.

Из этого следует, что наше предположение о конечном количестве четверок чисел, удовлетворяющих условию ab + cd = (a + b)(c + d), неверно. Следовательно, существует бесконечное количество таких четверок чисел.

Доп. материал: Нет нужды приводить пример использования для этой темы.

Совет: Для лучшего понимания и запоминания данного доказательства, рекомендуется внимательно следить за каждым шагом рассуждения и повторять его самостоятельно несколько раз. Также полезно ознакомиться с доказательствами других теорем и утверждений, чтобы приобрести навык логического мышления и решения задач.

Задача для проверки: Докажите, что число 5 делится нацело на 2.