Подтвердить, что выражение 37^(n+2) + 16^(n+1) + 23^n является кратным 7 при любом натуральном числе

Тема урока: Доказательство кратности выражения к числу 7

Пояснение:
Чтобы доказать, что выражение 37^(n+2) + 16^(n+1) + 23^n является кратным 7 при любом натуральном числе n, мы будем использовать метод математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай
Проверим, является ли выражение кратным 7 при n = 1:
37^(1+2) + 16^(1+1) + 23^1 = 37^3 + 16^2 + 23
Для натуральных чисел 37^3 кратно 7, 16^2 кратно 7 и 23 кратно 7, поэтому сумма выражения также кратна 7.

Шаг 2: Предположение индукции
Предположим, что выражение кратно 7 для некоторого произвольного n = k, то есть:
37^(k+2) + 16^(k+1) + 23^k кратно 7.

Шаг 3: Доказательство индукцией
Докажем, что если предположение индукции верно для n = k, то оно также верно для n = k+1:
37^((k+1)+2) + 16^((k+1)+1) + 23^(k+1) = 37^(k+3) + 16^(k+2) + 23^(k+1) = 37^(k+2) * 37^1 + 16^(k+1) * 16^1 + 23^k * 23^1

Разложим каждый множитель по модулю 7:
37^1 ≡ 2 (mod 7)
16^1 ≡ 2 (mod 7)
23^1 ≡ 2 (mod 7)

Теперь подставим обратно в выражение:
37^(k+2) * 2 + 16^(k+1) * 2 + 23^k * 2 = 2(37^(k+2) + 16^(k+1) + 23^k)

Таким образом, мы видим, что если выражение кратно 7 для n = k, то оно также кратно 7 для n = k+1.

Исходя из базового случая и доказательства индукцией, можно сделать вывод, что выражение 37^(n+2) + 16^(n+1) + 23^n является кратным 7 при любом натуральном числе.

Практика:
Докажите, что выражение 57^(n+3) + 22^(n+1) + 31^n также кратно 7 при любом натуральном числе n.