Перечислите утверждения, которые справедливы для любых ограниченных последовательностей [tex]x_n : : and : : y_n[/tex

Тема: Ограниченные последовательности

Объяснение: Для любых ограниченных последовательностей x_n и y_n верно следующее:
- Утверждение 1: [tex] \sup\{x_n + y_n\} \leqslant \sup \{x_n\} + \sup \{y_n\} [/tex] - верно. Сумма супремумов двух последовательностей не превышает супремум суммы этих последовательностей.
- Утверждение 2: [tex] \sup\{x_n + y_n\} \geqslant \sup \{x_n\} + \sup \{y_n\} [/tex] - неверно. Пример: если x_n = {1, 2, 3} и y_n = {4, 5, 6}, то [tex] \sup\{x_n + y_n\} = 9[/tex], [tex]\sup \{x_n\} = \sup \{y_n\} = 3[/tex], и утверждение не выполняется.
- Утверждение 3: [tex] \sup\{x_n - y_n\} \leqslant \sup \{x_n\} - \sup \{y_n\} [/tex] - верно. Разность супремумов двух последовательностей не превышает супремум разности этих последовательностей.
- Утверждение 4: [tex] \sup\{x_n - y_n\} \geqslant \sup \{x_n\} - \sup \{y_n\} [/tex] - неверно. Пример: если x_n = {4, 5, 6} и y_n = {1, 2, 3}, то [tex] \sup\{x_n - y_n\} = 3[/tex], [tex]\sup \{x_n\} = \sup \{y_n\} = 6[/tex], и утверждение не выполняется.
- Утверждение 5: [tex] \sup\{x_n + y_n\} \leqslant \sup \{x_n\} + \inf \{y_n\} [/tex] - верно. Сумма супремума последовательности x_n и инфинума последовательности y_n не превышает супремум суммы этих последовательностей.
- Утверждение 6: [tex] \sup\{x_n + y_n\} \geqslant \sup \{x_n\} + \inf \{y_n\} [/tex] - неверно. Пример: если x_n = {1, 2, 3} и y_n = {-4, -5, -6}, то [tex] \sup\{x_n + y_n\} = -2[/tex], [tex] \sup \{x_n\} = 3[/tex], [tex] \inf \{y_n\} = -6[/tex], и утверждение не выполняется.
- Утверждение 7: [tex] \sup\{x_n + c\} = \sup \{x_n\} [/tex] - верно. Сумма константы c и супремума последовательности x_n равна супремуму x_n, поскольку константа c не влияет на максимальное значение последовательности x_n.

Совет: Для лучшего понимания концепции ограниченных последовательностей, рекомендуется изучить определения и свойства супремума и инфинума.

Задача на проверку: Найдите доказательство для утверждения 3: [tex] \sup\{x_n - y_n\} \leqslant \sup \{x_n\} - \sup \{y_n\} [/tex].