Определите наименьшее и наибольшее значение функции, промежутки возрастания и убывания функции, и значения

Определение функции: Функция - это математическое правило, которое соотносит каждому элементу множества x некоторый элемент множества y. Обычно функции обозначаются символом f(x) или y = f(x), где f - это имя функции, а x - входной аргумент.

Определение наименьшего и наибольшего значения функции: Наименьшим значением функции f(x) называется значение, которое она принимает на всем своем области определения и которое меньше или равно любому другому значению функции. Наибольшим значением функции f(x) является значение, которое она принимает на всем своем области определения и которое больше или равно любому другому значению функции.

Промежутки возрастания и убывания функции: Функция называется возрастающей на интервале, если для любых двух значений x1 и x2 в этом интервале, где x1 < x2, f(x1) < f(x2). Функция называется убывающей на интервале, если для любых двух значений x1 и x2 в этом интервале, где x1 < x2, f(x1) > f(x2).

Значения x, при которых f(x) равно: Чтобы найти значения x, при которых функция f(x) равна определенному числу, необходимо решить уравнение f(x) = заданное число. Решение этого уравнения даст точки, в которых функция f(x) принимает заданное значение.

Дополнительный материал: Задана функция f(x) = x^2 - 2x + 1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции, промежутки возрастания и убывания, а также значения x, при которых f(x) равно 2.

Решение:
1. Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции необходимо с использованием производной найти ее экстремумы (минимумы и максимумы). Для данной квадратной функции f(x) = x^2 - 2x + 1 мы можем воспользоваться формулой для нахождения вершины параболы x = -b / (2a), где a = 1, b = -2:
x = -(-2) / (2 * 1) = 1.
f(1) = 1^2 - 2 * 1 + 1 = 0.
Таким образом, минимальное значение функции равно 0, которое достигается при x = 1.

2. Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо проанализировать значения производной функции. В данном случае, производная функции f"(x) = 2x - 2. Найдем стационарные точки, где производная равна нулю:
2x - 2 = 0,
2x = 2,
x = 1.
Делаем вывод, что функция возрастает на промежутке (-∞, 1) и убывает на промежутке (1, +∞).

3. Чтобы найти значения x, при которых f(x) равно 2, решим уравнение f(x) = 2:
x^2 - 2x + 1 = 2,
x^2 - 2x - 1 = 0.
Решив это квадратное уравнение, получим значения x.

Совет: Для лучшего понимания функций и их свойств, полезно изучить графики функций, провести анализ производной функции и практиковаться в решении уравнений.

Задача на проверку: Задана функция f(x) = 3x^2 + 2x - 1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции, промежутки возрастания и убывания, а также значения x, при которых f(x) равно 5.