Найти значения x, при которых уравнение sin^2(x/4)-cos^2(x/4)=sin(5p/2-x) имеет корни на отрезке [5p/2

Тема урока: Решение тригонометрического уравнения

Пояснение: Для решения данного тригонометрического уравнения необходимо использовать соответствующие тригонометрические тождества и свойства. Для начала, заметим, что уравнение содержит тригонометрическую функцию с аргументом (5π/2 - x), которую можно переписать с использованием тождества:

sin(5π/2 - x) = cos(x)

Теперь мы можем переписать исходное уравнение:

sin^2(x/4) - cos^2(x/4) = cos(x)

Используя формулу тождества синуса (sin^2(x) + cos^2(x) = 1), можем переписать это уравнение в другой форме:

sin^2(x/4) - (1 - sin^2(x/4)) = cos(x)

2sin^2(x/4) - 1 = cos(x)

Теперь у нас есть уравнение, в котором нет квадратов функций. Мы можем применить тождество синуса для упрощения уравнения:

2(1 - cos^2(x/4)) - 1 = cos(x)

2cos^2(x/4) - 1 = cos(x)

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Перенесем все элементы на одну сторону:

2cos^2(x/4) - cos(x) - 1 = 0

Теперь мы можем решить это уравнение, например, с помощью факторизации, квадратного корня или формулы квадратного уравнения. Однако, чтобы рассчитать значения x на интервале [5π/2, 7π/2], нам потребуется использовать дополнительные методы, такие как графическое представление уравнения для нахождения корней на данном интервале.

Совет: Для решения тригонометрических уравнений полезно знать основные тригонометрические тождества и свойства. Помимо этого, изучение графиков тригонометрических функций может помочь визуализировать решение уравнений и находить корни графическим методом.

Закрепляющее упражнение: Найдите значения x на интервале [5π/2, 7π/2], при которых уравнение sin^2(x/4) - cos^2(x/4) = sin(5π/2 - x) имеет корни.