Найти предел, используя эквивалентные бесконечно-малые: lim x-> 0 ln(1+2x)/tg(2п(x+1/2

Предмет вопроса: Пределы функций

Описание: Для нахождения данного предела, мы можем использовать эквивалентные бесконечно-малые. Давайте разобьем задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Применим формулу арктангенса, tg(x) = sin(x)/cos(x). Заменяя tg(2п(x+1/2)) на sin(2п(x+1/2))/cos(2п(x+1/2)) получаем следующее:

lim x->0 ln(1+2x)/(sin(2п(x+1/2))/cos(2п(x+1/2)))

Шаг 2: Заменим логарифм на эквивалентное бесконечно-малое. Мы знаем, что при малых значениях аргумента ln(1+x) эквивалентен x. Заменим ln(1+2x) на 2x:

lim x->0 (2x)/(sin(2п(x+1/2))/cos(2п(x+1/2)))

Шаг 3: Применим эквивалентные бесконечно-малые для синуса и косинуса. Мы знаем, что sin(x) эквивалентен x, а cos(x) эквивалентен 1 при малых значениях аргумента. Заменим sin(2п(x+1/2)) на 2п(x+1/2) и cos(2п(x+1/2)) на 1:

lim x->0 (2x)/(2п(x+1/2)/1)

Шаг 4: Упростим выражение:

lim x->0 (2x)/(2п(x+1/2))

lim x->0 x/(п(x+1/2))

Шаг 5: Приведем числитель и знаменатель к общему знаменателю:

lim x->0 (x(2p))/(п(x+1/2))

Шаг 6: Раскроем скобки и сократим подобные слагаемые:

lim x->0 (2px)/(пx+1/2)

При x -> 0, выражение в знаменателе становится практически равным 1. Получаем окончательный результат:

lim x->0 2px/пx

Дополнительный материал: Найдите предел lim x-> 0 ln(1+2x)/tg(2п(x+1/2))

Совет: Для нахождения пределов функций с помощью эквивалентных бесконечно-малых, важно знать основные эквивалентные выражения для различных функций. Также полезно использовать формулы тригонометрии и знать базовые свойства логарифмов.

Практика: Найдите предел lim x->0 (sin(3x))/(2x)