Найти первую производную функции у=у(х), заданной неявно уравнением: y + x= arctg(xy) по переменной

Название: Первая производная функции, заданной неявным уравнением.

Объяснение: Для нахождения первой производной функции, заданной неявным уравнением, мы будем использовать правило дифференцирования неявных функций. Для этого применим дифференцирование к обеим сторонам уравнения.

В данном случае у нас дано неявное уравнение: y + x = arctg(xy)

Шаг 1: Дифференцирование левой стороны уравнения по переменной x.
Для нахождения производной по x функции y, мы будем использовать цепное правило (chain rule).

dy/dx + 1 = d(arctg(xy))/dx

Шаг 2: Дифференцирование правой стороны уравнения по переменной x.
Для нахождения производной функции arctan(xy), мы также применим цепное правило.

d(arctg(xy))/dx = (1/(1+(xy)^2)) * (y + x(dy/dx))

Шаг 3: Упрощение выражения и выражение dy/dx в зависимости от других переменных.

Исходное уравнение стало: dy/dx + 1 = (y + x(dy/dx))/(1+(xy)^2)

Теперь, выразим dy/dx:

dy/dx + 1 = (y + x(dy/dx))/(1+(xy)^2)
dy/dx + (y + x(dy/dx))/(1+(xy)^2) = 0
dy/dx(1 + (xy)^2) + (y + x(dy/dx)) = 0
dy/dx(1 + (xy)^2) + y + xy(dy/dx) = 0
dy/dx((1 + (xy)^2) + xy) + y = 0
dy/dx = -y/((1 + (xy)^2) + xy)

Дополнительный материал: Найти первую производную функции y + x = arctg(xy) по переменной x.

Совет: При решении задач, связанных с неявными уравнениями, обратите внимание на цепное правило и совершайте последовательные действия по дифференцированию обеих сторон уравнения по соответствующей переменной.

Практика: Найти первую производную функции z + 3x = sin(2yz) по переменной y.

Содержание: Неявно заданные функции и их производные

Инструкция:
Неявно заданная функция - это функция, заданная уравнением, где одна переменная выражена через другую. В данной задаче нам дано уравнение: y + x = arctg(xy). Требуется найти первую производную функции y = y(x) по переменной x.

Для решения задачи применим правило дифференцирования неявно заданной функции. Возьмем производную от обеих частей уравнения по переменной x.

Для первого слагаемого y(x) получаем производную по x: dy/dx.

Для второго слагаемого x получаем производную по x: 1.

Для третьего слагаемого arctg(xy) нужно использовать правило дифференцирования сложной функции. Производная arctg(u) равна 1/(1+u^2), поэтому для производной arctg(xy) получаем (1+xy)^(-2) * (y+xy").

Объединяя все слагаемые, получаем уравнение: dy/dx + 1 = (1+xy)^(-2) * (y+xy").

Решим это уравнение относительно производной y": y" = (dy/dx) = (dy/dx + 1) * (1+xy)^2 / (y+xy).

Это и есть первая производная функции у=у(x), заданной неявно уравнением.

Демонстрация:
Уравнение: y + x = arctg(xy)

Найти первую производную функции у=у(x) по переменной x.

Совет:
Для решения таких задач рекомендуется внимательно просмотреть все слагаемые и применить правила дифференцирования неявных функций и сложных функций.

Задача на проверку:
Найдите первую производную функции у=у(x) по переменной x в следующем неявном уравнении: y^2 + 2x = ln(xy).