Найти диапазоны, в которых вероятностью 0,95 заключена доля телевизоров, удовлетворяющих стандарту, во всей партии

Тема урока: Доверительный интервал и вероятность

Пояснение: Чтобы найти диапазоны, в которых вероятностью 0,95 заключена доля телевизоров, удовлетворяющих стандарту, мы можем использовать формулу для доверительного интервала. В данном случае, у нас есть партия из 8000 телевизоров, и из них 800 были выбраны.

Для повторной выборки без возвращения мы можем использовать нормальное распределение, так как объем выборки больше 30. Формула для доверительного интервала при повторной выборке без возвращения выглядит следующим образом:

\[ \bar{x} \pm z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

где \(\bar{x}\) - среднее значение выборки, \(\sigma\) - стандартное отклонение выборки, \(n\) - объем выборки, а \(z\) - z-значение, которое соответствует заданной доверительной вероятности.

Для данной задачи, среднее значение выборки составляет \(\frac{800}{8000} = 0,1\), так как 800 из 8000 удовлетворяют стандарту. Стандартное отклонение можно посчитать используя формулу \(\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\), где \(p\) - доля успеха, а \(n\) - объем выборки. В данном случае, \(p = 0,1\) и \(n = 8000\). Затем, нужно найти соответствующее z-значение для доверительной вероятности 0,95.

Для одноразовой выборки мы также можем использовать нормальное распределение, но нужно использовать корректировку для стандартной ошибки. Формула для доверительного интервала при одноразовой выборке выглядит следующим образом:

\[ \bar{x} \pm z \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \]

где \(\bar{x}\) - среднее значение выборки, \(\hat{p}\) - оценка доли успеха, полученная из выборки, \(n\) - объем выборки, а \(z\) - z-значение, которое соответствует заданной доверительной вероятности.

Пример использования: Для повторной выборки с объемом выборки 8000 и стандартным отклонением 0,0158, мы можем использовать z-значение 1,96 для доверительной вероятности 0,95. Подставив значения в формулу, мы получаем диапазон доли телевизоров, удовлетворяющих стандарту: \(0,1 \pm 1,96 \cdot \frac{0,0158}{\sqrt{8000}}\).

Совет: Чтобы легче понять и применить формулу доверительного интервала, рекомендуется изучить нормальное распределение, стандартное отклонение, стандартную ошибку и z-значения. Это поможет вам лучше понять контекст и применить формулу в различных задачах.

Упражнение: Мы провели выборку из 5000 телевизоров и обнаружили, что 350 из них удовлетворяют стандарту. Найдите доверительный интервал с вероятностью 0,90 для доли телевизоров, удовлетворяющих стандарту.

Тема: Доверительный интервал для доли

Описание: Для решения данной задачи необходимо использовать доверительный интервал для доли. Доверительный интервал представляет собой интервал значений, в котором с определенной вероятностью будет находиться истинное значение параметра (в данном случае – доля телевизоров, удовлетворяющих стандарту). Вероятность того, что доля телевизоров попадает в данный интервал, составляет 0,95.

При повторной выборке без возвращения используется формула доверительного интервала для доли:

p ± z * √((p * (1 - p)) / n),

где p - выборочная доля (количество выбранных телевизоров, удовлетворяющих стандарту, деленное на общее количество выбранных телевизоров), z - критическое значение стандартного нормального распределения для заданной вероятности (в данном случае 0,95), n - объем выборки.

При выборке с возвращением используется формула доверительного интервала для доли:

p ± z * √((p * (1 - p)) / N),

где N - общее количество телевизоров в партии.

Пример:
Пусть p = 800/8000 = 0,1 (выбрано 800 телевизоров удовлетворяющих стандарту из 8000).
При повторной выборке без возвращения:
z = 1,96 (критическое значение для вероятности 0,95)
n = 8000 (объем выборки)
Используя формулу, можем рассчитать доверительный интервал:
0,1 ± 1,96 * √((0,1 * (1 - 0,1)) / 8000) = 0,1 ± 0,0102
Таким образом, доля телевизоров, удовлетворяющих стандарту, с вероятностью 0,95 находится в интервале от 0,0898 до 0,1102.

Совет: Чтобы лучше понять и применять формулу доверительного интервала для доли, рекомендуется изучить и понять теорию статистики, включая стандартное нормальное распределение и его критические значения.

Задача на проверку: В партии из 5000 телевизоров 400 были выбраны. Рассчитайте доверительный интервал для доли телевизоров, удовлетворяющих стандарту, с вероятностью 0,95 при повторной выборке без возвращения.