Найдите значения x, при которых уравнение 3sin2x-4cosx+3sinx-2 равно нулю, и укажите корни, которые находятся внутри

Содержание вопроса: Решение уравнений с тригонометрическими функциями

Объяснение: Для решения данного уравнения, вам необходимо найти значения переменной x, при которых выражение 3sin(2x) - 4cos(x) + 3sin(x) - 2 равно нулю.

Давайте решим это уравнение пошагово:

1. Объединим все тригонометрические функции в одно уравнение:

3sin(2x) + 3sin(x) - 4cos(x) - 2 = 0.

2. Перепишем тригонометрические функции в виде синуса суммы и разности углов.

Для этого воспользуемся следующими формулами:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x),
cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x)).

Получим:

3(2sin(x)cos(x)) + 3sin(x) - 4sqrt(1 - sin^2(x)) - 2 = 0.

3. Приведем подобные слагаемые:

6sin(x)cos(x) + 3sin(x) - 4sqrt(1 - sin^2(x)) - 2 = 0.

4. Заменим переменную sin(x) на t:

6t*sqrt(1 - t^2) + 3t - 4sqrt(1 - t^2) - 2 = 0.

5. Объединим подобные слагаемые:

(6t - 4sqrt(1 - t^2)) * sqrt(1 - t^2) + 3t - 2 = 0.

6. Выразим одно выражение через другое:

(6t - 4sqrt(1 - t^2)) * sqrt(1 - t^2) = 2 - 3t.

7. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

(6t - 4sqrt(1 - t^2))^2 * (1 - t^2) = (2 - 3t)^2.

8. Раскроем скобки:

(36t^2 - 48t*sqrt(1 - t^2) + 16(1 - t^2))(1 - t^2) = 4 - 12t + 9t^2.

9. Упростим уравнение и приведем подобные слагаемые:

36t^2 - 48t*sqrt(1 - t^2) + 16 - 16t^2 = 4 - 12t + 9t^2.

20t^2 - 48t*sqrt(1 - t^2) + 12t - 12 = 0.

10. Решим полученное квадратное уравнение с помощью метода дискриминанта.

Дискриминант D = (48*sqrt(1 - t^2))^2 - 4*20(12t - 12).

D = 2304(1 - t^2) - 960t + 960.

D = 2304 - 2304t^2 - 960t + 960.

D = -2304t^2 - 960t + 2304.

Найдем корни дискриминанта:

D = 0 --> -2304t^2 - 960t + 2304 = 0.

Решив это квадратное уравнение, найдем значения t.

Количество корней дискриминанта говорит нам о количестве решений квадратного уравнения и, соответственно, количестве корней нашего исходного уравнения.

Доп. материал: Решите уравнение 3sin(2x) - 4cos(x) + 3sin(x) - 2 = 0.

Совет: Для решения уравнений с тригонометрическими функциями, полезно знать основные тригонометрические и тригонометрические преобразования. Также необходимо быть внимательным при раскрытии скобок и приведении подобных слагаемых.

Ещё задача: Решите уравнение 2sin(2x) - 3cos(x) + 2sin(x) - 4 = 0.