Найдите все значения x, для которых неравенство log23(81−x2)−7log3(81−x2)+12≥0 выполняется

Тема: Решение неравенства с логарифмами

Описание:
Для решения данного неравенства с логарифмами мы будем использовать свойства логарифмов и методы решения квадратных уравнений.

1. Начнем с анализа неравенства: log23(81−x^2)−7log3(81−x^2)+12≥0.
2. Первое свойство, которое мы применим, - это свойство логарифмов, согласно которому log(a^b) = b * log(a). Мы можем использовать это свойство, чтобы переписать неравенство: log3((81−x^2)^3)−log3((81−x^2)^7)+12≥0.
3. Затем мы можем объединить два логарифма в один, используя свойства логарифма log(a) + log(b) = log(a * b): log3(((81−x^2)^3) / ((81−x^2)^7))+12≥0.
4. Далее мы можем упростить выражение внутри логарифма, заметив, что (81−x^2)^3 / (81−x^2)^7 = 1 / (81−x^2)^4. Получаем: log3(1 / (81−x^2)^4)+12≥0.
5. Теперь мы можем применить свойство логарифма, согласно которому log(a^(-b)) = -b * log(a): -4 * log3(81−x^2)+12≥0.
6. Перенесем 12 на другую сторону: -4 * log3(81−x^2)≥-12.
7. Разделим обе стороны на -4, сохраняя при этом знак неравенства: log3(81−x^2)≤3.
8. Теперь мы можем использовать определение логарифма, согласно которому log(a, b) = c эквивалентно a^c = b. Мы получаем: 3^log3(81−x^2)≤3^3.
9. Упростив, получаем: 81−x^2≤27.
10. Перенесем 81 на другую сторону и извлечем квадратный корень: -x^2≤-54.
11. Изменим знак неравенства и снова возведем в квадрат: x^2≥54.
12. Извлечем корень и учтем, что мы изменили знак неравенства: x≥±√54.
13. Поскольку у нас есть знак "больше или равно", все значения x, которые больше или равны ±√54, удовлетворяют исходному неравенству.

Пример:
Найдите все значения x, для которых неравенство log23(81−x^2)−7log3(81−x^2)+12≥0 выполняется.

Совет:
При решении неравенств с логарифмами всегда проверяйте полученные значения x, подставляя их в исходное неравенство, чтобы убедиться, что они удовлетворяют этому неравенству.

Проверочное упражнение:
Решите неравенство log5(25−2x)−3log5(25−2x)+4≤0.