Найдите сумму коэффициентов b и c параболы y = x^2 + bx + c, если прямая y = 9x - 11 касается этой параболы в точке

Тема: Решение задачи с касательной и параболой

Пояснение: Чтобы решить эту задачу, необходимо использовать свойство касательных. Когда прямая касается кривой в определенной точке, коэффициент наклона касательной должен быть равен коэффициенту при x в уравнении параболы в этой точке.

В нашем случае, уравнение параболы дано как y = x^2 + bx + c. Мы знаем, что прямая y = 9x - 11 касается параболы в точке с абсциссой x = 3.

Чтобы найти сумму коэффициентов b и c, нам нужно сравнить коэффициент наклона этой прямой с коэффициентом при x в уравнении параболы в точке x = 3.

Шаги решения:

1. Вычислим коэффициент при x для уравнения параболы:
Подставим x = 3 в уравнение параболы: y = 3^2 + 3b + c = 9 + 3b + c.

2. Сравним коэффициент наклона прямой с коэффициентом при x в уравнении параболы:
Коэффициент наклона прямой равен 9, поэтому 9 = 3b.

3. Решим полученное уравнение относительно b:
Деля обе части уравнения на 3, получим: b = 3.

4. Найдем значение c, подставив b = 3 в уравнение параболы:
Подставим b = 3 в уравнение параболы: y = 9 + 3(3) + c = 9 + 9 + c = 18 + c.
Так как прямая касается параболы, то значение y в точке касания должно быть таким же для обоих функций, то есть 18 + c = 9(3) - 11.

5. Решим уравнение относительно c:
Сократим числа: 18 + c = 27 - 11.
Вычтем 18 с обеих сторон уравнения: c = 27 - 11 - 18 = -2.

6. Найдем сумму коэффициентов b и c:
b + c = 3 + (-2) = 1.

Совет: Чтобы лучше понять, как работать с касательными и параболами, полезно изучить основные свойства и уравнения параболы. Упражнения на решение задач с использованием касательных и парабол помогут вам закрепить полученные знания.

Упражнение: Найдите коэффициент наклона прямой, касающейся параболы y = 2x^2 + 4x - 3 в точке с абсциссой x = -1. Найдите сумму коэффициентов b и c этой параболы.