Найдите любую первообразную функции y = (3/4)x^2

Тема: Первообразная функции

Пояснение: Одним из ключевых понятий в дифференциальном исчислении является понятие первообразной функции. Если дана функция \(y = f(x)\), то её первообразная \(F(x)\) является такой функцией, производная которой равна исходной функции: \(F"(x) = f(x)\).
Рассмотрим задачу: найдем первообразную функции \(y = \frac{3}{4}x^2\) с помощью метода степенной функции.

Для этого возьмем степень исходной функции, увеличим её на 1 и поделим на новую степень. Итак, имеем:

\[F(x) = \frac{1}{3+1} \cdot \frac{3}{4} \cdot x^{2+1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot x^3 = \frac{1}{4}x^3 + C\]

где \(C\) — константа интегрирования.

Демонстрация: Вычислим первообразную функции \(y = \frac{3}{4}x^2\):

\[F(x) = \frac{1}{4}x^3 + C\]

Совет: Для лучшего понимания и запоминания метода нахождения первообразной функции, рекомендуется проработать несколько примеров самостоятельно, используя различные функции и разные методы интегрирования.

Закрепляющее упражнение: Найдите первообразную функции \(y = 2x^3 - 5x^2 + 4x\) и бонусом определите \(\int_{1}^{2}(2x^3 - 5x^2 + 4x)dx\)