Найдите косинус угла α, образуемого прямыми bn и cm на кубе abcda1b1c1d1, если длина ребра куба равна 1 и точки n

Тема занятия: Косинус угла в кубе

Пояснение:
Для решения данной задачи, нам необходимо найти косинус угла α, образованного прямыми bn и cm на кубе abcda1b1c1d1. Предположим, что угол α образован точками n и m на ребрах b1c1 и c1d1.

1. Начнем с поиска координат точек n и m.

- Так как точка n расположена на ребре b1c1, координаты точки n можно задать параметрическим уравнением: n(t) = (0, 1 - t, t), где t - параметр соотношения b1n: nc1=1:1.

- Точка m находится на ребре c1d1, поэтому её координаты также можно выразить параметрически: m(s) = (s, 0, 1 - s), где s - параметр c1m: md1=1:1.

2. Теперь найдем векторы bn и cm.

- Вектор bn = n - b1 = (0, 1 - t, t) - (0, 1, 0) = (0, -t, t).

- Вектор cm = m - c1 = (s, 0, 1 - s) - (0, 0, 1) = (s, 0, -s).

3. Используя скалярное произведение векторов bn и cm, можно найти косинус угла α по формуле:

cos(α) = (bn · cm) / (||bn|| * ||cm||), где ||bn|| и ||cm|| - длины векторов bn и cm соответственно.

4. Продолжим вычисления:

- Длина вектора bn: ||bn|| = √(0^2 + (-t)^2 + t^2) = √(t^2 + t^2) = √(2t^2) = √2t.

- Длина вектора cm: ||cm|| = √(s^2 + 0^2 + (-s)^2) = √(s^2 + s^2) = √(2s^2) = √2s.

- Скалярное произведение bn и cm: bn · cm = (0 * s) + (-t * 0) + (t * -s) = -st.

- Подставляем найденные значения в формулу косинуса угла α:

cos(α) = (-st) / (√2t * √2s) = -st / (2√(st)) = -√st/2.

5. В результате, мы получаем, что косинус угла α равен -√st/2.

Дополнительный материал:
Найдем косинус угла α, если t = 1/4 и s = 3/4.

Решение:
Подставляем значения t и s в формулу:
cos(α) = -√(1/4 * 3/4)/2 = -√3/8.

Совет:
Чтобы лучше понять данную задачу, полезно ознакомиться со свойствами векторов и скалярного произведения. Также, важно внимательно описать параметрические уравнения и выразить необходимые векторы.

Ещё задача:
Найдите косинус угла α, если t = 1/2 и s = 1/3.