Натуральное число, при делении на 5, 6 и 11, дает остатки. Сумма этих остатков равна 19. Какой остаток получится, если

Тема вопроса: Арифметика

Пояснение: Для решения этой задачи нам нужно найти число, которое при делении на 5, 6 и 11 даёт остатки, а затем посчитать остаток от деления этого числа на 33.

Давайте представим, что искомое число обозначено как N. Из условия задачи мы знаем, что сумма остатков от деления числа N на 5, 6 и 11 равна 19. Это означает, что:

N ≡ 19 (mod 5) -- (1)
N ≡ 19 (mod 6) -- (2)
N ≡ 19 (mod 11) -- (3)

Теперь нам нужно решить эту систему сравнений. Для этого мы можем использовать Китайскую теорему об остатках.

Сначала найдем коэффициенты, удовлетворяющие следующим конгруэнтностям:

5x ≡ 1 (mod 6) -- (4)
6y ≡ 1 (mod 5) -- (5)
11z ≡ 1 (mod 5) -- (6)

Затем умножим каждую конгруэнтность на соответствующий коэффициент:

(1) * (4): 5Nx ≡ 19 (mod 6)
(2) * (5): 6Ny ≡ 19 (mod 5)
(3) * (6): 11Nz ≡ 19 (mod 11)

Получим:

Nx ≡ 4 (mod 6) -- (7)
Ny ≡ 4 (mod 5) -- (8)
Nz ≡ 19 (mod 11) -- (9)

Имея эти конгруэнтности, мы можем найти значения x, y и z:

x = 5
y = 1
z = 6

Теперь путем подстановки найденных значений в формулу для N, мы получаем искомое число:

N = 5*5*4 + 6*1*4 + 11*6*19
N = 100 + 24 + 1254
N = 1378

Теперь остается найти остаток при делении числа 1378 на 33:

1378 % 33 = 14

Ответ: Остаток от деления на 33 будет равен 14.

Совет: При решении подобных задач, важно внимательно формулировать конгруэнтности и тщательно просчитывать значения коэффициентов. Постепенно работайте над каждым шагом, чтобы избежать ошибок.

Дополнительное задание: Найти остаток от деления числа 166 на 25. Запишите решение и ответ.

Тема занятия: Решение системы уравнений методом подстановки

Пояснение:

Дано, что натуральное число при делении на 5, 6 и 11 дает остатки, а сумма этих остатков равна 19. Нам нужно найти остаток, если это число разделить на 33.

Мы можем решить эту задачу, предположив, что число равно n. Тогда мы можем записать следующие уравнения:

n ≡ a (mod 5), где a - остаток при делении на 5
n ≡ b (mod 6), где b - остаток при делении на 6
n ≡ c (mod 11), где c - остаток при делении на 11

Из условия задачи, мы знаем, что a + b + c = 19.

Теперь нам нужно решить эту систему уравнений методом подстановки.

Подставим первое уравнение во второе и третье:

b ≡ a (mod 6)
c ≡ a (mod 11)

Из первого уравнения можно выразить b через a:

b = a + 6k1, где k1 - целое число (без остатка)

Подставим b в уравнение с остатком 11:

a + 6k1 ≡ a (mod 11)

Из этого уравнения можно выразить c через a:

c = a + 11k2, где k2 - целое число (без остатка)

Теперь у нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными a и k2:

a + b + c = 19
b = a + 6k1
c = a + 11k2

Мы знаем, что остаток от деления на 33 будет равен a. Подставляя выражения для b и c в первое уравнение:

a + (a + 6k1) + (a + 11k2) = 19

3a + 6k1 + 11k2 = 19

Наименьшее положительное значение а, удовлетворяющее этому уравнению, можно найти перебором. Подставим a = 1 и найдем соответствующие значения k1 и k2:

3 + 6k1 + 11k2 = 19

6k1 + 11k2 = 16

Подбирая значения (k1, k2), мы можем найти, что при k1 = 2 и k2 = 1 получаем равенство:

6(2) + 11(1) = 16

Таким образом, a = 1, b = 13, c = 12.

Остаток при делении числа n на 33 будет равен a, то есть 1.

Запись решения и ответ:

Остаток при делении данного числа на 33 равен 1.

Совет:

Для более легкого понимания решения, можно использовать таблицу соответствий остатков или пройти несколько примеров решения системы уравнений методом подстановки.

Упражнение:

Натуральное число, при делении на 3,4 и 7, дает остатки. Сумма этих остатков равна 15. Какой остаток получится, если это число разделить на 28?