На заданных интервалах найдите минимальные и максимальные значения следующих функций: 1) y=-6x+x²+13 на интервале

Минимальные и максимальные значения функций на заданных интервалах:

1) Функция: y = -6x + x² + 13 на интервале [0; 6]

Для нахождения минимального и максимального значения функции, необходимо найти вершины параболы, так как данная функция представляет собой параболу вида y = ax² + bx + c.

Формула для нахождения x-координаты вершины параболы: x = -b / (2a)

В данном случае, a = 1, b = -6.

x = -(-6) / (2 * 1) = 3

Подставляем найденную x-координату в исходную функцию для нахождения y-координаты:

y = -6 * 3 + 3² + 13 = -18 + 9 + 13 = 4

Таким образом, вершина параболы находится в точке (3, 4).

Минимальное значение функции будет в точке (3, 4), а максимальное - на одном из концов интервала.

Минимальное значение: (3, 4)

Максимальное значение: (0, 13) и (6, 13)

2) Функция: y = 1/2x² - 1/3 на интервале [1; 3]

Аналогично предыдущей задаче, находим вершину параболы.

a = 1/2, b = 0.

x = -0 / (2 * 1/2) = 0

y = 1/2 * 0² - 1/3 = -1/3

Вершина параболы находится в точке (0, -1/3).

Минимальное значение: (1, 1/6)

Максимальное значение: (3, 2/3)

3) Функция: y = x³ - 3x³ - 9x + 35 на интервале [-4; 4]

Находим вершину кубической параболы.

a = 1, b = -3.

x = -(-3) / (3 * 1) = 1

y = 1³ - 3 * 1³ - 9 * 1 + 35 = -16

Вершина параболы находится в точке (1, -16).

Минимальное значение: (1, -16)

Максимальное значение: (4, 5)

4) Функция: y = x - 2x² + 1/3x³ на интервале [-4; -1]

Находим вершину параболы.

a = 1/3, b = -2.

x = -(-2) / (2 * 1/3) = 3

y = 3 - 2 * 3² + 1/3 * 3³ = -24

Вершина параболы находится в точке (3, -24).

Минимальное значение: (-1, -4)

Максимальное значение: (3, -24)

5) Функция: y = 3/5x - 2/5x² - 1/3x³ на интервале [-3; -1]

Находим вершину параболы.

a = -1/3, b = -2/5.

x = -(-2/5) / (2 * -1/3) = 10/3

y = 3/5 * 10/3 - 2/5 * (10/3)² - 1/3 * (10/3)³ = -40/9

Вершина параболы находится в точке (10/3, -40/9).

Минимальное значение: (-3, 2)

Максимальное значение: (-1, 0)

Совет: Для решения данной задачи необходимо знать основы работы с параболами и кубическими параболами. Чтобы лучше понять, как происходит нахождение минимальных и максимальных значений на заданных интервалах, рекомендуется практиковаться решением подобных задач и изучением теории по данной теме.

Практика: Найдите минимальные и максимальные значения функции y = 2x - 3x² + 4 на интервале [-2; 2].

Суть вопроса: Нахождение минимальных и максимальных значений функций на заданных интервалах

Разъяснение: Для решения этой задачи находим производную функции и находим ее критические точки, то есть значения x, где производная равна нулю или не существует. Затем проверяем значения функции в критических точках и на границах заданного интервала.

1) Функция: y = -6x + x² + 13 на интервале [0; 6]
- Находим производную функции: y" = 2x - 6.
- Точки экстремума находятся при y" = 0, поэтому решаем уравнение 2x - 6 = 0 и получаем x = 3.
- Проверяем значения функции в критической точке и на границах интервала:
- При x = 0, y = -6(0) + (0)² + 13 = 13.
- При x = 3, y = -6(3) + (3)² + 13 = 4.
- При x = 6, y = -6(6) + (6)² + 13 = 37.
- Минимальное значение функции на интервале [0; 6] равно 4, а максимальное - 37.

2) Функция: y = 1/2x² - 1/3 на интервале [1; 3]
- Находим производную функции: y" = x.
- Точек экстремума нет, так как y" не равна нулю и не существует для данной функции.
- Проверяем значения функции на границах интервала:
- При x = 1, y = 1/2(1)² - 1/3 = 1/6.
- При x = 3, y = 1/2(3)² - 1/3 = 8/3.
- Минимальное значение функции на интервале [1; 3] равно 1/6, а максимальное - 8/3.

3) Функция: y = x³ - 3x³ - 9x + 35 на интервале [-4; 4]
- Находим производную функции: y" = 3x² - 9.
- Точки экстремума находятся при y" = 0, поэтому решаем уравнение 3x² - 9 = 0 и получаем x = ±√3.
- Проверяем значения функции в критических точках и на границах интервала:
- При x = -4, y = (-4)³ - 3(-4)² - 9(-4) + 35 = 61.
- При x = √3, y = (√3)³ - 3(√3)² - 9(√3) + 35 ≈ 40.21.
- При x = -√3, y = (-√3)³ - 3(-√3)² - 9(-√3) + 35 ≈ 52.79.
- При x = 4, y = (4)³ - 3(4)² - 9(4) + 35 = -5.
- Минимальное значение функции на интервале [-4; 4] равно -5, а максимальное - 61.

4) Функция: y = x - 2x² + 1/3x³ на интервале [-4; -1]
- Находим производную функции: y" = 1 - 4x + x².
- Точек экстремума нет, так как y" не равна нулю и не существует для данной функции.
- Проверяем значения функции на границах интервала:
- При x = -4, y = (-4) - 2(-4)² + 1/3(-4)³ = -244/3.
- При x = -1, y = (-1) - 2(-1)² + 1/3(-1)³ = -4/3.
- Минимальное значение функции на интервале [-4; -1] равно -244/3, а максимальное - 4/3.

5) Функция: y = 3/5x - 2/5x² - 1/3x³ на интервале [-3; ?
- Первый интервал не завершен, укажите конечную точку вопроса, и я смогу продолжить решение.

Совет: Для нахождения минимальных и максимальных значений функций на заданных интервалах всегда следует начинать с нахождения производной функции и анализировать критические точки и значения функции на границах интервала. Это позволяет определить точки экстремума и найти искомые значения функции.

Дополнительное упражнение: Найдите минимальное и максимальное значения функции y = x³ - 2x² + 3x - 4 на интервале [-2; 2].