На отрезке, найдите максимальное и минимальное значение функции y = -x^3 + 9x^2 - 24x

Математика: Определение максимального и минимального значения функции на отрезке

Объяснение: Чтобы найти максимальное и минимальное значение функции на отрезке, мы должны рассмотреть всю область определения функции и найти точки, где функция достигает этих экстремальных значений.

У нас дана функция y = -x^3 + 9x^2 - 24x. Чтобы найти максимальное и минимальное значение на отрезке, нужно сначала найти производную функции, а затем найти точки, где производная равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими точками.

1. Найдем производную функции y = -x^3 + 9x^2 - 24x. Для этого применим правило степенной функции и производного многочлена:
y" = -3x^2 + 18x - 24.

2. Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение для нахождения критических точек:
-3x^2 + 18x - 24 = 0.

3. Найдем корни этого квадратного уравнения. Для этого можем воспользоваться формулой дискриминанта:
D = b^2 - 4ac = 18^2 - 4(-3)(-24) = 1008.
Здесь D > 0, поэтому у уравнения есть два различных корня.

Найдем корни, используя формулу:
x = (-b ± √D) / (2a).
x1 = (18 + √1008) / (2*(-3)) ≈ 4.27.
x2 = (18 - √1008) / (2*(-3)) ≈ 1.73.

4. Теперь, чтобы найти максимальное и минимальное значения, нужно вычислить функцию в критических точках, а также на концах отрезка.

y(1.73) ≈ -19.97,
y(4.27) ≈ -11.07,
y(0) = 0,
y(3) = 0.

Таким образом, минимальное значение функции равно -19.97 и достигается в точке x ≈ 1.73, а максимальное значение равно -11.07 и достигается в точке x ≈ 4.27.

Совет: Когда вы решаете задачи на поиск максимальных и минимальных значений функций на отрезке, всегда начинайте с нахождения критических точек, делая производную функции равной нулю. Таким образом, вы сможете исследовать поведение функции и найти все экстремумы.

Ещё задача: Найдите максимальное и минимальное значение функции y = x^3 - 6x^2 + 9x на отрезке [0, 4].