На каких значениях t все точки Pt на единичной окружности имеют ординату, большую или равную -1/2?

Тема урока: Решение уравнения для точек на единичной окружности

Пояснение: Для решения этой задачи, нам нужно найти значения t, при которых все точки Pt на единичной окружности имеют ординату, большую или равную -1/2. Для этого, мы можем использовать свойства трехгранных функций синуса и косинуса.

Возьмем точку Pt = (x, y) на единичной окружности. Так как точка Pt находится на единичной окружности, то x^2 + y^2 = 1.

Используя свойство синуса в прямоугольном треугольнике, мы знаем, что y = sin(t), где t - угол, отсчитываемый от положительной полуоси x в положительном направлении.

Таким образом, мы должны найти значения t, при которых sin(t) ≥ -1/2.

Используя синусную волну, мы знаем, что sin(t) ≥ -1/2 для значений t, когда угол находится во II и III квадрантах окружности.

В II квадранте, sin(t) от 1/2 до 1, а в III квадранте, sin(t) от -1 до -1/2. Таким образом, значения t будут теми, которые находятся между π и 3π/2 (II квадрант) и между 3π/2 и 2π (III квадрант).

Например: Найдите значения t, при которых все точки Pt на единичной окружности имеют ординату, большую или равную -1/2.

Совет: Чтобы лучше понять это понятие, рекомендуется построить график единичной окружности и обозначить значения t, при которых y ≥ -1/2.

Задание: Найдите значения t, при которых все точки Pt на единичной окружности имеют ординату, большую или равную 0.

Тема занятия: Точки на единичной окружности

Объяснение: Единичная окружность - это окружность радиусом 1 и центром в начале координат. Чтобы найти значения t, при которых все точки Pt на этой окружности имеют ординату, большую или равную -1/2, мы должны использовать уравнение окружности и найти условия на ординату.

Уравнение окружности задается следующим образом: x² + y² = 1, где (x, y) - координаты точки на окружности.

Мы можем записать это уравнение в терминах t, используя тригонометрические функции. Радиус окружности равен 1, поэтому x = cos(t) и y = sin(t). Подставляя это в уравнение окружности, получаем:

cos²(t) + sin²(t) = 1.

Учитывая, что sin²(t) = 1 - cos²(t), мы можем переписать уравнение следующим образом:

2cos²(t) - 1 = 0.

Решая это уравнение, мы находим значения t, которые удовлетворяют условию задачи. В данном случае, когда все точки на окружности имеют ординату, большую или равную -1/2, решение состоит из двух интервалов для t: (0, π/3] и (5π/3, 2π].

Дополнительный материал: Найдите значения t, при которых все точки Pt на единичной окружности имеют ординату, большую или равную -1/2.

Совет: Для понимания и решения подобных задач полезно знать геометрические и тригонометрические свойства окружностей, а также уметь решать уравнения.

Задача для проверки: Найдите значения t, при которых все точки Pt на единичной окружности имеют ординату, меньшую или равную -1/2.