На доске записаны различные числа, известно, что для каждого из них можно найти 2020 чисел, среднее арифметическое

Задача: На доске записаны различные числа, известно, что для каждого из них можно найти 2020 чисел, среднее арифметическое которых равно данному числу. Какое наименьшее количество цифр могло быть записано на доске?

Разъяснение: Давайте предположим, что минимальное количество цифр на доске равно N. Возьмем одну из этих цифр и рассмотрим все возможные комбинации из N цифр, для которых среднее арифметическое равно этой цифре. Заметим, что каждое число, которое можно получить из этих комбинаций, должно иметь порядок N.

Таким образом, мы можем записать N-значное число с помощью комбинации из N единиц, N двоек и так далее. Таким образом, общее количество возможных комбинаций будет равно 9 + 8 + 7 + ... + 1 = 45.

Теперь, так как у нас есть 2020 чисел для каждой цифры, минимальное количество чисел на доске будет равно N * 45 = 2020.

Чтобы найти наименьшее N, который удовлетворяет этому условию, мы можем разделить 2020 на 45, что даст нам N = 44 остаток 20. Это означает, что наименьшее количество цифр, которое можно записать на доске, равно 44.

Доп. материал: На доске записаны числа 1, 2, 3, ..., 44. Для каждого из них найдено 2020 чисел, среднее арифметическое которых равно данному числу.

Совет: Удобно использовать формулу суммы арифметической прогрессии, чтобы найти общее количество комбинаций чисел для каждой цифры на доске. Напомните школьнику о формуле суммы арифметической прогрессии и о том, как ее применить в данной задаче.

Задача для проверки: Представьте, что на доске записано больше чисел, чем в предыдущей задаче. Как изменится наименьшее количество цифр, которое можно записать на доске?