Можете ли вы доказать, что для каждого натурального значения n выражение 7^n+13^n-2 является кратным?

Содержание: Доказательство кратности выражения 7^n + 13^n - 2

Инструкция:
Для доказательства кратности выражения 7^n + 13^n - 2 для каждого натурального значения n, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

1. *Шаг базы:*
Для n=1, мы имеем 7^1 + 13^1 - 2 = 7 + 13 - 2 = 18, что является кратным числу 9, так как 18 = 2 * 9. Таким образом, выражение верно для n=1.

2. *Индукционное предположение:*
Предположим, что выражение 7^k + 13^k - 2 кратно для некоторого натурального k.

3. *Индукционный шаг:*
Докажем, что выражение также кратно для n=k+1. Распишем это выражение:
7^(k+1) + 13^(k+1) - 2 = 7*7^k + 13*13^k - 2 = 7*(7^k) + 13*(13^k) - 2.
Мы можем заметить, что каждый из двух слагаемых 7*(7^k) и 13*(13^k) является кратным соответственно числам 9 и 7, так как они представлены в виде 9m и 7n для некоторых целых чисел m и n.
Таким образом, мы можем записать:
7*(7^k) + 13*(13^k) - 2 = 9m + 7n - 2 = 9m + 7n - 7 + 5 = 9m + 7(n-1) + 5.
Здесь мы получили выражение, которое представлено в виде 9m + 7(n-1) + 5. Мы видим, что первые два слагаемых кратны 9, а последнее слагаемое 5 является кратным 5. Таким образом, мы можем представить выражение 9m + 7(n-1) + 5 в виде 9m" для некоторого целого числа m". То есть, выражение 7^(k+1) + 13^(k+1) - 2 кратно 9.

Итак, мы показали, что если выражение 7^k + 13^k - 2 кратно для натурального числа k, то оно также кратно для n=k+1. Так как мы уже доказали, что это выражение является кратным при n=1, мы можем заключить, что оно является кратным для любого натурального значения n.

Совет:
Чтобы лучше понять метод математической индукции и его применение, рекомендуется изучить несколько дополнительных примеров и попрактиковаться в выполнении задач, используя этот метод.

Проверочное упражнение:
Докажите, что выражение 5^n + 2^n + 3^n кратно 10 для любого натурального значения n.