Какую точку следует найти на эллипсе 9x² + 25y² = 225, чтобы расстояние от нее до правого фокуса было в четыре раза

Тема вопроса: Эллипс

Пояснение: Для того чтобы найти точку на эллипсе, удовлетворяющую условию задачи, мы должны использовать свойство, что расстояние от точки на эллипсе до правого фокуса в четыре раза больше, чем расстояние от этой точки до левого фокуса.

У нас есть эллипс с уравнением 9x² + 25y² = 225. Согласно определению эллипса, сумма расстояний от любой точки на эллипсе до двух фокусов равна постоянной величине, в данном случае это 2a = 6, где а - большая полуось эллипса.

Данное свойство и условие задачи позволяют нам составить уравнение, чтобы найти требуемую точку.

Расстояние между точкой (x, y) на эллипсе и левым фокусом (c, 0) равно евклидовому расстоянию (x - c, y). Расстояние до правого фокуса (−c, 0) равно (x + c, y).

Рассмотрим точку (x, y), которую мы хотим найти. Согласно условию, мы имеем уравнение:

(x + c) * 4 = (x - c)

Если мы заменим c на √(a² - b²), где a = 3 (большая полуось) и b = 2 (малая полуось), то мы получим:

(x + 3) * 4 = (x - 3)

Решив это уравнение, мы найдем x = 9/7.

Применяя значение x в исходном уравнении эллипса, мы можем найти значение y:

9*(9/7)² + 25y² = 225

Путем решения этого уравнения получаем y = ±6/7.

Итак, точка на эллипсе, удовлетворяющая условию задачи, имеет координаты (9/7, 6/7) или (9/7, -6/7).

Совет: Для лучшего понимания эллипса рекомендуется изучить теорию и примеры, связанные с геометрическими свойствами эллипса. Также полезно запомнить его уравнение, чтобы проще было работать с задачами, связанными с эллипсами.

Задача на проверку: Найдите точку на эллипсе x²/16 + y²/9 = 1, удовлетворяющую условию, что расстояние от нее до правого фокуса вдвое больше расстояния от нее до левого фокуса.