Синус, косинус и тангенс двойного угла
Каковы значения sin2a, cos2a и tg2a, если значение cosa равно 1/3?
Каковы значения sin2a, cos2a и tg2a, если значение cosa равно 1/3?
28.11.2023 16:58
Написать свой ответ:
Пояснение: Для решения данной задачи нам понадобятся формулы для выражения синуса, косинуса и тангенса двойного угла через значения синуса и косинуса самого угла.
Формулы для синуса и косинуса двойного угла:
sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a)
Формула для тангенса двойного угла:
tg(2a) = 2tg(a) / (1 - tg^2(a))
Значение cos(a) равно 1/3. Нам нужно найти значения sin(2a), cos(2a) и tg(2a).
Для начала найдем sin(a) с помощью формулы sin^2(a) + cos^2(a) = 1. Если cos(a) = 1/3, то sin^2(a) = 1 - cos^2(a) = 1 - (1/3)^2 = 1 - 1/9 = 8/9. Следовательно, sin(a) = √(8/9) = 2√2/3.
Теперь, используя найденное значение sin(a) и значение cos(a), можем найти sin(2a) и cos(2a).
sin(2a) = 2sin(a)cos(a) = 2 * (2√2/3) * (1/3) = 4√2/9
cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a) = (1/3)^2 - (2√2/3)^2 = 1/9 - 8/9 = -7/9 (поэтому мы предполагаем, что a - острый угол)
Также, используя значение sin(a), можно найти tg(2a):
tg(2a) = 2tg(a) / (1 - tg^2(a)) = 2 * ((2√2/3) / (1 - (2√2/3)^2)) = (4√2/3) / (1 - 8/9) = (4√2/3) / (1/9) = 36√2
Например:
У нас есть угол a, для которого cos(a) = 1/3. Найдите значения sin(2a), cos(2a) и tg(2a).
Совет: Чтобы понять и запомнить формулы для синуса, косинуса и тангенса двойного угла, рекомендуется практиковаться в их применении на различных примерах. Также, помните, что для корректных значений sin, cos и tan углы должны быть острыми, а при решении задач вы всегда должны проверять соответствие условию задачи.
Задача на проверку: При cos(a) = 1/4, найдите значения sin(2a), cos(2a) и tg(2a).
Объяснение: Для решения этой задачи сначала нам нужно определить значение синуса, косинуса и тангенса угла `a`. Дано значение `cosa`, равное 1/3. Мы знаем, что синус угла `a` определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, а косинус - как отношение прилежащего катета к гипотенузе.\
Используя теорему Пифагора, мы можем найти значение противолежащего катета. Пусть гипотенуза равна 3 (так как `cosa = гипотенуза/прилежащий катет`). Тогда противолежащий катет равен 2 (так как `противолежащий катет = гипотенуза × синус a`).\
Теперь у нас есть значение противолежащего и прилежащего катетов, и мы можем использовать эти значения, чтобы найти значения sin2a, cos2a и tg2a. Формулы для этих функций следующие:\
`sin2a = 2sinacosa`\
`cos2a = cos^2a - sin^2a`\
`tg2a = (2tg a) / (1 - tg^2a)`
Пример: Пользуясь полученными значениями (`sin a = 2/3` и `cos a = 1/3`), мы можем вычислить значения sin2a, cos2a и tg2a.
`sin2a = 2 * (2/3) * (1/3) = 4/9`\
`cos2a = (1/3)^2 - (2/3)^2 = 1/9 - 4/9 = -3/9`\
`tg2a = (2*(2/3)) / (1- (2/3)^2) = (4/3) / (1-4/9) = (4/3) / (5/9) = 36/15 = 12/5`
Совет: Чтобы лучше понять тригонометрические функции, полезно ознакомиться с геометрическим представлением этих функций на основе прямоугольного треугольника и угла `a`. Это поможет вам лучше представить себе, как эти функции связаны с соответствующими отношениями сторон треугольника.
Практика: При заданном значении `cosa` равном 1/4, найдите значения sin2a, cos2a и tg2a.