Каковы возможные значения для выражения a+b+c, если для действительных чисел a, b, c выполняются следующие равенства

Предмет вопроса: Решение системы уравнений в действительных числах

Описание:

Чтобы решить данную систему уравнений, сначала приведём её к удобному виду и затем применим метод подстановок.

Уравнение 1: 1/a + 7/b = 5/c

Уравнение 2: 7/a + 1/b = 11/c

Уравнение 3: a + b/5 = 3/c

Для начала избавимся от дробей в уравнении 1 и умножим все слагаемые на abc:

bc + 7ac = 5ab

Затем приведём подобные слагаемые:

5ab - 7ac = bc

Аналогично для уравнений 2 и 3:

11ab - 7bc = ac

5a + b = 15c

Теперь применим метод подстановок, подставляя выражение для a и b из уравнений 2 и 3 в уравнение 1:

(11ab - 7bc) + 7(5a + b) = ac

11ab - 7bc + 35a + 7b = ac

Перегруппируем и приведём подобные слагаемые:

11ab - ac + 35a = 7bc - 7b

Проделав аналогичные операции для двух других уравнений, получим систему:

11ab - ac + 35a = 7bc - 7b (Уравнение A)

5ab - 7ac = bc (Уравнение B)

5a + b = 15c (Уравнение C)

Дальше проводятся несложные алгебраические преобразования и получаем, что:

c = a/3 и c = b/7

Таким образом, возможными значениями для выражения a + b + c являются любые значения, для которых выполняется условие c = a/3 = b/7. Если возможных значений несколько, то их сумма будет равна a + b + c = a + b + a/3 = b/7 + a + b + b/7 = (4a + 9b)/7

Совет: Для более лёгкого решения системы уравнений, рекомендуется привести все уравнения к общему знаменателю и упростить их, чтобы избавиться от дробей.

Закрепляющее упражнение: Решите систему уравнений:

2xy + 3yx = 15

4yx - 6xy = -12

Тема: Решение системы уравнений с тремя неизвестными

Объяснение: Чтобы найти возможные значения выражения a+b+c, необходимо решить систему уравнений, состоящую из трех уравнений, заданных в условии.

Давайте пошагово решим данную систему:

Шаг 1: Рассмотрим первые два уравнения: 1/a + 7/b = 5/c и 7/a + 1/b = 11/c.

Мы можем решить данную систему методом подстановки или методом исключения переменных. В данном случае, воспользуемся методом подстановки.

Шаг 2: Разделим первое уравнение на 7 и второе уравнение на 1, чтобы избавиться от дроби.

Получим систему уравнений: 1/7a + 1/b = 5/7c и 7/a + 1/b = 11/c.

Шаг 3: Выразим a из первого уравнения:

1/7a = (5/7c - 1/b).

Теперь рассмотрим третье уравнение: a + b/5 = 3/c.

Шаг 4: Подставим выражение для a из первого уравнения в третье уравнение:

(5/7c - 1/b) + b/5 = 3/c.

Шаг 5: Приведем данное уравнение к общему знаменателю и упростим:

(5b + 7c - 7b) / (7bc) + b/5 = 3/c.

(7c - 2b) / (7bc) + b/5 = 3/c.

(35c - 10b + 7bc) / (35bc) = 3/c.

35c - 10b + 7bc = 105.

Шаг 6: Упростим данное уравнение и выразим b через c:

(7bc - 10b) + 35c = 105.

b(7c - 10) = 105 - 35c.

b = (105 - 35c) / (7c - 10).

На этом этапе мы нашли выражение для b через c. Теперь мы можем использовать это выражение, чтобы найти a.

Шаг 7: Подставим выражение для b в первое уравнение и решим его относительно a:

1/a + 7/((105 - 35c) / (7c - 10)) = 5/c.

После упрощений решаем данное уравнение:

(7c - 10) / (105 - 35c) + 7/(105 - 35c) = 5/c.

(14c - 20 + 7) / (105 - 35c) = 5/c.

(14c - 13) / (105 - 35c) = 5/c.

5(14c - 13) = c(105 - 35c).

70c - 65 = 105c - 35c^2.

35c^2 - 35c - 65 = 0.

Шаг 8: Решим получившееся квадратное уравнение для нахождения значений c.

Получим два возможных значения для c:

c1 = -1 и c2 = 13/7.

Шаг 9: Подставим значения c в выражение для b и найдем соответствующие значения:

b1 = (105 - 35*(-1)) / (7*(-1) - 10) = -10.

b2 = (105 - 35*(13/7)) / (7*(13/7) - 10) = 5/2.

Шаг 10: Подставим найденные значения b и c в выражение для a:

a1 = 11/3 и a2 = -2.

Шаг 11: Вычислим выражение a + b + c для каждого найденного набора значений:

a1 + b1 + c1 = 11/3 - 10 - 1 = -29/3.

a2 + b2 + c2 = -2 + 5/2 + 13/7 = 15/14.

Таким образом, возможные значения выражения a + b + c равны -29/3 и 15/14. Их сумма равна -29/3 + 15/14 = -373/42.

Совет: Для решения системы уравнений с тремя неизвестными, полезно использовать метод подстановки или метод исключения переменных. Обратите внимание на то, как упрощать уравнения и находить связи между переменными.

Закрепляющее упражнение: Найдите возможные значения для выражения a + b + c, если для действительных чисел a, b, c выполняются следующие равенства:

3/a + 5/b = 7/c,
5/a + 3/b = 9/c,
a + b/3 = 2/c.

Если возможных значений несколько, то запишите их сумму в ответе.