Каковы площади фигур, образованных графиками у = х2 + 4х + 10, х = 0 и касательной в точке

Тема: Площадь фигур, образованных графиками у = х² + 4x + 10, х = 0 и касательной в точке

Разъяснение:
Для решения этой задачи, нам понадобится найти площади двух фигур: фигуру, ограниченную графиком функции у = х² + 4x + 10 и осью ординат, и фигуру, образованную касательной к этому графику, перпендикулярной оси ординат и проходящей через точку x = 0.

Первая фигура, ограниченная графиком функции и осью ординат, является параболой. Чтобы найти её площадь, мы должны вычислить определенный интеграл функции у = х² + 4x + 10 на интервале от нуля до точки пересечения параболы с осью ординат.

Интегрируя функцию у = х² + 4x + 10, мы получаем у = (1/3)x³ + 2x² + 10x + C, где C - произвольная постоянная. Подставляя нижний и верхний пределы интегрирования (0 и точку пересечения с осью ординат) и вычитая результаты, мы можем найти площадь этой фигуры.

Вторая фигура, образованная касательной к графику функции и перпендикулярной оси ординат, состоит из двух треугольников, стороны которых образуются касательной и осями ординат и абсцисс. Площадь каждого треугольника можно найти, используя формулу площади треугольника: S = (1/2) * основание * высота.

Доп. материал:
Вычислим площади фигур, образованных графиками у = х² + 4x + 10, х = 0 и касательной в точке. Первым шагом найдем точку пересечения графика функции с осью ординат. Для этого решим уравнение:
х² + 4x + 10 = 0

Получаем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта или формулы полного квадрата. После нахождения корней, найдем площадь первой фигуры.

Затем найдем уравнение касательной в точке пересечения графика функции с осью абсцисс. Используя уравнение касательной, вычислим точку пересечения с осью ординат. Затем, с помощью формулы площади треугольника, найдем площадь второй фигуры.

Совет:
Для лучшего понимания этой задачи, рекомендуется изучить темы: интегралы, квадратные уравнения, уравнения прямых и треугольники.

Задача для проверки:
Найдите площади фигур, образованных графиками у = 2x² + 5x + 3, х = 1 и касательной в точке (1, 4).