Каково значение производной функции F(x) = 51n x - 4 корень x + 8 в точке х0 = 0.25?

Содержание вопроса: Производная функции

Разъяснение:

Чтобы найти значение производной функции, нам необходимо взять производную функции по переменной x и подставить значение х0 в полученное выражение.

Дана функция F(x) = 51n x - 4 корень x + 8.

Для начала, разложим функцию на отдельные слагаемые:

F(x) = 51n x - 4√x + 8.

Теперь возьмем производную каждого слагаемого по переменной x по отдельности. Рассмотрим каждое слагаемое:

1. Производная от 51n x: Логарифмическая функция будет иметь производную (ln x)" = 1/x, поэтому производная от 51n x будет равна 51/x.

2. Производная от -4√x: Корень квадратный из x возведенный в степень -4 дает -2x^(-3/2).

3. Производная от 8: Константа 8 имеет производную равную нулю.

Теперь соберем все производные вместе:

F"(x) = (51/x) - 2x^(-3/2).

Подставим значение х0 = 0.25 в производную функции F(x):

F"(0.25) = (51/0.25) - 2(0.25)^(-3/2) = 204 - 2(2^(-3/2)).

Вычислим это выражение, чтобы получить конечный ответ.

Совет: Убедитесь, что вы знакомы с правилами нахождения производной для различных видов функций, таких как логарифмические функции и степенные функции. Это поможет вам легко находить производные сложных функций.

Практика: Найдите производную функции G(x) = 3x^2 - 5sin(x) в точке x0 = π/4.

Суть вопроса: Производная функции

Описание: Производная функции показывает скорость изменения функции в каждой точке. Для вычисления производной функции F(x) нужно поочередно дифференцировать каждый её компонент. Для решения данной задачи, нужно применить правило дифференцирования для функций, состоящих из суммы, разности и произведения функций, а также правило дифференцирования элементарных функций.

В данном случае, функция F(x) = 51n x - 4 корень x + 8 можно представить как сумму трёх функций: 51n x, -4 корень x и 8.

Производная константы равна нулю, производная корня из x равна (1/2)*x^(-1/2), а производная натурального логарифма от x равна (1/x).

Применяя эти правила, получаем производную функции F(x):

F"(x) = 51*(1/x) - 4*(1/2)*x^(-1/2) + 0

Теперь, для вычисления значения производной в точке х0 = 0.25 подставляем значение х0 в F"(x):

F"(0.25) = 51*(1/0.25) - 4*(1/2)*0.25^(-1/2)

F"(0.25) = 51*4 - 4*(1/2)*2

F"(0.25) = 204 - 4*1

F"(0.25) = 204 - 4

F"(0.25) = 200

Таким образом, значение производной функции F(x) в точке х0 = 0.25 равно 200.

Совет: Для лучшего понимания производной функции и её вычисления рекомендуется изучить основные правила дифференцирования и применить их на различных примерах. Практика поможет закрепить материал и улучшить навыки решения задач.

Проверочное упражнение: Найдите производную функции G(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 3 в точке x = 2.