Каково наименьшее значение x, при котором прямая y=3x+30 параллельна касательной к графику функции y=x3+5x2−5x−18?

Тема: Нахождение наименьшего значения x для параллельной прямой

Объяснение:
Чтобы найти наименьшее значение x, при котором прямая y=3x+30 параллельна касательной к графику функции y=x^3+5x^2−5x−18, необходимо понять, что две прямые параллельны, если их наклоны равны.

Функция y=x^3+5x^2−5x−18 является графиком кубической функции и касательная к графику в определенной точке будет иметь наклон, равный производной функции в этой точке. Чтобы найти наименьшее значение x, при котором касательная имеет такой же наклон, как и прямая y=3x+30, мы должны приравнять производную функции в этой точке к 3. Решив это уравнение, мы найдем значение x.

Производная функции y=x^3+5x^2−5x−18 равна y"=3x^2+10x−5. Мы приравниваем ее к 3: 3x^2+10x−5=3. Приведя это уравнение в каноническую форму и решив его, получим два значения x. Наименьшее из этих значений и будет искомым ответом.

Дополнительный материал:
Найдем наименьшее значение x, при котором прямая y=3x+30 параллельна касательной к графику функции y=x^3+5x^2−5x−18.

Для этого решаем уравнение: 3x^2+10x−5=3.

1. Приводим уравнение к канонической форме:

3x^2+10x−8=0.

2. Решаем полученное уравнение:

x₁≈-2.44,
x₂≈0.77.

Ответ: Наименьшее значение x, при котором прямая y=3x+30 параллельна касательной к графику функции y=x^3+5x^2−5x−18, равно x ≈ -2.44.

Совет: Для успешного решения подобных задач полезно знать основные принципы дифференциального исчисления. Не забывайте проверять свои ответы, подставляя найденные значения в исходное уравнение и убеждаясь, что они удовлетворяют условию задачи.

Задание для закрепления: Найдите наименьшее значение x, при котором прямая y=2x+5 параллельна касательной к графику функции y=x^2-3x+1.

Тема урока: Касательные к графикам функций

Разъяснение: Для того чтобы найти значение x, при котором прямая y=3x+30 параллельна касательной к графику функции y=x^3+5x^2−5x−18, нам необходимо найти производную данной функции и использовать ее для определения углового коэффициента касательной.

Производная функции y=x^3+5x^2−5x−18 равна y"=3x^2+10x−5. Зная, что для параллельных прямых угловой коэффициент оставляется неизменным, получаем, что угловой коэффициент касательной равен 3.

Таким образом, для параллельности прямой y=3x+30 касательной графика функции y=x^3+5x^2−5x−18, коэффициент при x должен быть равным 3. Решим уравнение 3x+30=3:

3x+30=3
3x=3−30
3x=−27
x=−27/3
x=−9

Следовательно, наименьшее значение x, при котором заданная прямая параллельна касательной к графику функции, равно -9.

Совет: При решении подобных задач полезно помнить, что параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент, а касательная к кривой графика функции имеет угловой коэффициент, равный производной этой функции в данной точке.

Практика: С какой прямой y=kx+20 параллельна касательная к графику функции y=x^2-4x+3? Найдите значение k и определите, на каких значениях x эта прямая параллельна касательной.