Каково доказательство того, что авсd является ромбом, если координаты точек a(9,2,8), в(5,3,-2),с(-3,-4,-4),d(1,-5,6)?

Предмет вопроса: Доказательство ромба в трехмерном пространстве

Описание: Для доказательства того, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках A(9,2,8), B(5,3,-2), C(-3,-4,-4) и D(1,-5,6) является ромбом, нам необходимо проверить выполнение двух условий. Первое условие - все стороны должны быть одинаковой длины. Второе условие - диагонали должны быть взаимно перпендикулярны.

Решение:

1. Найдем длины сторон AB, BC, CD и DA, используя формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
- Длина AC:
AC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²), где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты точек A и C соответственно.
AC = √((-3 - 9)² + (-4 - 2)² + (-4 - 8)²)
AC = √((-12)² + (-6)² + (-12)²)
AC = √(144 + 36 + 144)
AC = √324
AC = 18

- Длина BC:
BC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)
BC = √((-3 - 5)² + (-4 - 3)² + (-4 - (-2))²)
BC = √((-8)² + (-7)² + (-2)²)
BC = √(64 + 49 + 4)
BC = √117
BC ≈ 10.82

- Длина CD:
CD = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)
CD = √((1 - (-3))² + (-5 - (-4))² + (6 - (-4))²)
CD = √((4)² + (-1)² + (10)²)
CD = √(16 + 1 + 100)
CD = √117
CD ≈ 10.82

- Длина AD:
AD = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)
AD = √((1 - 9)² + (-5 - 2)² + (6 - 8)²)
AD = √((-8)² + (-7)² + (-2)²)
AD = √(64 + 49 + 4)
AD = √117
AD ≈ 10.82

2. Убедимся, что все стороны имеют одинаковую длину:
AB ≈ BC ≈ CD ≈ AD ≈ 10.82

3. Проверим, являются ли диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. Для этого проверим, равна ли им нулю скалярное произведение векторов AC и BD:
- Вектор AC (x, y, z): AC = (-3 - 9, -4 - 2, -4 - 8) = (-12, -6, -12)
- Вектор BD (x, y, z): BD = (1 - 5, -5 - 3, 6 - (-2)) = (-4, -8, 8)
- Скалярное произведение: AC · BD = (-12) * (-4) + (-6) * (-8) + (-12) * 8 = 48 + 48 - 96 = 0

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник ABCD является ромбом. Все его стороны равны по длине, а диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны.

Совет: Для более легкого понимания доказательства ромба в трехмерном пространстве следует внимательно изучить формулу расстояния между двумя точками и скалярное произведение векторов.

Дополнительное задание: Доказать, что четырехугольник с вершинами в точках A(2,3,-1), B(-1,0,4), C(3,-1,2), D(6,2,1) является ромбом.