Какова площадь водной глади на озере с формой улитки Паскаля r=6+sin( varphi)? Остров на озере имеет форму эллипса

Содержание: Задача о площади водной глади на озере с формой улитки Паскаля

Инструкция:
Для решения данной задачи нам потребуется найти площадь ограниченную улиткой Паскаля и вычесть из нее площадь эллипса.

1. Сначала найдем координаты точек на улитке Паскаля, используя таблицу значений (\varphi, r). Для этого возьмем значения \varphi и рассчитаем соответствующие значения r с помощью формулы r=6+sin(\varphi). Возьмем значения \varphi = 0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi и найдем соответствующие r, используя эти значения в формуле.

2. Построим диаграмму озера, на которой отметим найденные точки улитки Паскаля. Также на диаграмме построим эллипс с полуосями a=1км и b=2км, который представляет остров на озере.

3. Далее, чтобы найти площадь ограниченную улиткой Паскаля, используем формулу S_1=\frac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi}r^2(\varphi)d\varphi. В данной формуле интеграл берется от 0 до 2\pi, а функция r^2(\varphi) является подынтегральной функцией.

4. Вычислим полученный интеграл и получим площадь ограниченную улиткой Паскаля (S_1).

5. Затем вычислим площадь эллипса (S_2) с полуосями a=1км и b=2км с помощью формулы S_2=\pi \cdot a \cdot b.

6. И, наконец, найдем площадь водной глади, вычитая площадь эллипса из площади, ограниченной улиткой Паскаля. Результат введем в виде S/\pi.

Доп. материал:
В таблице значений (\varphi, r) улитки Паскаля имеем следующие значения: (0, 6), (\pi/2, 6.8414), (\pi, 7), (3\pi/2, 5.1586), (2\pi, 6).

Построим диаграмму озера с улиткой Паскаля и эллипсом.

Используя формулы, вычислим S_1 и S_2:

S_1=\frac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi}r^2(\varphi)d\varphi = \frac{1}{2}\left[\left(6^2\cdot0\right)+\left(6.8414^2\cdot\frac{\pi}{2}\right)+\left(7^2\cdot\pi\right)+\left(5.1586^2\cdot\frac{3\pi}{2}\right)+\left(6^2\cdot2\pi\right)\right]

S_2=\pi \cdot a \cdot b = \pi \cdot 1 \cdot 2

Найдем разность между S_1 и S_2.

Советы:
- В данной задаче важно правильно построить диаграмму озера, чтобы визуализировать форму улитки Паскаля и полуоси эллипса.
- При вычислении интеграла, используйте представление r^2 в виде r^2(\varphi)=\left(6+sin(\varphi)\right)^2, затем упростите и вычислите значение интеграла.

Практика:
Пользуясь формулами из примера выше, вычислите площадь водной глади (S_1 - S_2) и представьте результат в виде S/\pi.