Какова площадь сферы, если все стороны прямоугольного треугольника с катетами 8 см и 15 см касаются этой сферы

Содержание: Площадь сферы с заданным треугольником

Инструкция: Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые знания об геометрии и свойствах сферы. Площадь сферы можно вычислить, зная ее радиус. В данной задаче, у нас есть треугольник, все стороны которого касаются сферы, а ее центр находится на расстоянии 4 см от плоскости треугольника. Радиус сферы будет равен расстоянию от центра сферы до плоскости треугольника.

Чтобы вычислить радиус сферы, нам понадобится применить теорему Пифагора к данному прямоугольному треугольнику. По теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату гипотенузы. В нашем случае, катеты равны 8 см и 15 см, поэтому гипотенуза равна:

гипотенуза^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289
гипотенуза = √289 = 17 см

Таким образом, радиус сферы равен 4 см. Теперь, мы можем вычислить площадь сферы, используя формулу:

Площадь сферы = 4πr^2
Площадь сферы = 4π * 4^2 = 4π * 16 = 64π кв.см

Таким образом, площадь сферы равна 64π кв.см.

Совет: Чтобы лучше понять эту задачу, полезно вспомнить свойства прямоугольных треугольников, формулу Пифагора и формулу для площади сферы. Также, важно внимательно прочитать условие задачи и понять, как связаны эти различные элементы.

Проверочное упражнение: Найдите площадь сферы, если радиус равен 5 см.

Инструкция: Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся знания о свойствах прямоугольных треугольников и сфер. Для начала, давайте нарисуем схему, чтобы было проще понять условие задачи.

Мы имеем прямоугольный треугольник, у которого катеты равны 8 см и 15 см. Эти катеты касаются сферы. По условию, центр сферы находится на расстоянии 4 см от плоскости треугольника. Обозначим радиус сферы как R.

Из свойства касательных мы знаем, что касательные, проведенные из точек касания до центра сферы, являются радиусами сферы. Также, по свойствам прямоугольного треугольника, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Мы можем составить следующее уравнение:
8^2 + 15^2 = (2R + 4)^2

Решим это уравнение:
64 + 225 = 4R^2 + 16R + 16
289 = 4R^2 + 16R + 16
4R^2 + 16R - 273 = 0

Используем квадратное уравнение:
R = (-16 ± √(16^2 - 4(4)(-273))) / (2(4))

Вычислим значение R:
R = (-16 ± √(256 + 4368)) / 8
R = (-16 ± √4624) / 8
R = (-16 ± 68) / 8

Мы получили два значения для R: -11 и 9. Но радиус сферы не может быть отрицательным, поэтому выбираем значение R = 9.

Теперь можно найти площадь сферы, используя формулу:
Площадь сферы = 4πR^2

Подставляя значение радиуса R = 9, мы получаем:
Площадь сферы = 4π(9^2)
Площадь сферы ≈ 1017.88 см^2

Совет: Для понимания этой задачи полезно знать свойства прямоугольных треугольников и сфер, а также уметь использовать формулу для площади сферы. Если у вас возникают сложности с решением уравнений, можно проконсультироваться с учителем или преподавателем по математике.

Задание для закрепления: Известно, что касательные к сфере, проведенные из точек касания до центра сферы, находятся под прямым углом друг к другу. Если катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см, а центр сферы находится на расстоянии 3 см от плоскости треугольника, найдите радиус этой сферы и ее площадь.