Какова площадь плоской фигуры, ограниченной следующими линиями: y=1/x и y=-1/4x+5/4?

Содержание: Площадь фигуры, ограниченной двумя линиями

Инструкция: Для определения площади фигуры, ограниченной двумя линиями, нам нужно найти точки их пересечения и затем использовать метод интегрирования для вычисления площади ограниченной области.

Для начала найдем точку пересечения двух линий. Решим систему уравнений: уравнение прямой y=1/x и уравнение прямой y=-1/4x+5/4.

Поставим их равными друг другу и решим полученное уравнение:
1/x = -1/4x + 5/4

Домножим каждую сторону на 4x, чтобы избавиться от знаменателя:
4 = -x + 5x

Приведем подобные члены:
4 = 4x

Разделим обе части уравнения на 4:
4/4 = x
x = 1

Теперь, чтобы вычислить площадь ограниченной фигуры, мы должны взять интеграл от функции, где x изменяется от 1 до бесконечности, и y изменяется от 1/x до -1/4x+5/4.

Площадь фигуры можно вычислить по следующей формуле:
S = ∫(f(x) - g(x))dx

Где f(x) и g(x) - это соответственно верхняя и нижняя функции, определяющие область.

Применяя эту формулу к нашей задаче, мы получим:
S = ∫(1/x - (-1/4x+5/4))dx

S = ∫(1/x + 1/4x - 5/4)dx

Теперь, возьмем интеграл от этой функции, при условии, что x изменяется от 1 до бесконечности.

Таким образом, найдя интеграл и применив верхний и нижний пределы интегрирования, получим значение площади ограниченной фигуры.

Пример: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=1/x и y=-1/4x+5/4.

Совет: Чтобы более легко понять эту тему, важно иметь хорошее понимание интегрирования и решения систем уравнений. Регулярная практика решения подобных задач поможет вам лучше понять процесс вычисления площади фигуры, ограниченной двумя линиями.

Задание для закрепления: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x+3 и y=x^2.