Какова площадь области ограниченной кривыми y=-3x^2,y=0,x=1 и x=2? Предоставьте график

Предмет вопроса: Площадь ограниченной области и ее график

Инструкция: Чтобы найти площадь области, ограниченной данными кривыми, необходимо вычислить определенный интеграл от y=-3x^2 до y=0 по осям x. Поскольку кривая y=0 является осью x, нашей целью будет найти площадь территории между кривыми y=-3x^2, x=1 и x=2.

Для начала, давайте построим график кривых. Кривая y=-3x^2 представляет собой параболу, открытую вниз, с фокусом в начале координат.


Теперь мы должны вычислить интеграл этой кривой от x=1 до x=2 по формуле:
S = ∫[(верхняя граница) - (нижняя граница)] dx.

В данном случае, верхней границей является кривая y=0, а нижней границей - кривая y=-3x^2. Мы вычисляем площадь, интегрируя разность между этими двумя кривыми от x=1 до x=2.

Используя формулы для вычисления интеграла, получим:
S = ∫[0 - (-3x^2)] dx = ∫3x^2 dx.

Проинтегрируем это выражение:
S = x^3 |[от 1 до 2] = 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7.

Таким образом, площадь области, ограниченной кривыми y=-3x^2, y=0, x=1 и x=2, равна 7 квадратным единицам.

Совет: При выполнении таких задач всегда полезно начать с построения графика, чтобы визуализировать пространство и понять область, которую нужно ограничить.

Задача для проверки: Найдите площадь области, ограниченной кривыми y=x^2, y=2x и x=0.