Какова наименьшая длина отрезка OM для окружности, центр которой находится в первой координатной четверти, касается

Тема: Наименьшая длина отрезка для окружности, центр которой находится в первой координатной четверти

Описание:
Для решения этой задачи нам нужно найти наименьшую длину отрезка OM для окружности, которая касается оси Ox в точке M и пересекает две гиперболы y = 20/x и y = 25/x в точках A и B соответственно, причем прямая AB проходит через начало координат O.

Для начала построим графики этих гипербол. Гипербола y = 20/x имеет горизонтальную асимптоту y = 0 и вертикальную асимптоту x = 0. Она проходит через начало координат, так как y = 20/0 неопределено. Гипербола y = 25/x имеет также горизонтальную асимптоту y = 0 и вертикальную асимптоту x = 0. Она также проходит через начало координат.

Так как окружность находится в первой координатной четверти и касается оси Ox в точке M, координаты центра окружности будут (r, r), где r - радиус окружности. Пусть точка касания окружности с гиперболой y = 20/x будет A, а точка касания с гиперболой y = 25/x - B.

Так как прямая AB проходит через начало координат O, координаты точек A и B будут (a, 20/a) и (b, 25/b) соответственно, где a и b - неизвестные значения.

Используя уравнение окружности, можем записать следующие равенства:

(1) (a - r)² + (20/a - r)² = r²
(2) (b - r)² + (25/b - r)² = r²

Необходимо решить эти уравнения относительно радиуса r. Если найдем значение r, то длина отрезка OM будет 2r.

Пример использования:
Задача: Найдите наименьшую длину отрезка OM для окружности, центр которой находится в первой координатной четверти, касается оси Ox в точке M, пересекает две гиперболы y = 20/x и y = 25/x в точках A и B соответственно, и прямая AB проходит через начало координат O.

Решение: Мы должны решить уравнения (1) и (2) относительно радиуса r. Затем найденное значение r будет использовано для вычисления длины отрезка OM, которая будет равна 2r.

Совет:
- Будьте внимательны при решении уравнений и не упускайте из вида никакие члены уравнений.
- Перед решением уравнений, упростите выражения, чтобы сократить количество переменных и упростить работу.
- Если вам не удается решить уравнения вручную, вы можете использовать графический метод или найти численное решение с помощью программ или калькулятора.

Упражнение:
Найдите наименьшую длину отрезка OM для окружности, центр которой находится в первой координатной четверти, касается оси Ox в точке M, пересекает две гиперболы y = 10/x и y = 30/x в точках A и B соответственно, и прямая AB проходит через начало координат O.