Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника, если известно, что окружность вписана в него и что точка касания

Тема вопроса: Прямоугольный треугольник и окружность

Пояснение:
Для решения этой задачи нам потребуется разобраться в свойствах прямоугольных треугольников и окружностей.

Известно, что окружность вписана в прямоугольный треугольник, что означает, что центр окружности лежит внутри треугольника и касается каждой его стороны. Также известно, что точка касания делит гипотенузу в отношении 2:3.

Пусть длина гипотенузы равна H. По условию, точка касания делит гипотенузу на две части, первая часть составляет 2/5 от H, вторая часть составляет 3/5 от H.

Так как гипотенуза является самой длинной стороной прямоугольного треугольника, то точка касания должна делить ее на самый короткий и самый длинный отрезки.

Следовательно, длина самого короткого отрезка равна 2/5 от H, а длина самого длинного отрезка равна 3/5 от H.

Мы можем записать это уравнение: 2/5H + 3/5H = H, чтобы проверить справедливость этого предположения.

Решим это уравнение: (2/5 + 3/5)H = H, (5/5)H = H, что является верным, следовательно, наше предположение верно.

Таким образом, длина гипотенузы равна H.

Например:
Задача: В прямоугольном треугольнике окружность вписана так, что точка касания делит гипотенузу в отношении 2:3. Если длина гипотенузы равна 10 см, найдите радиус окружности.

Решение: Если точка касания делит гипотенузу в отношении 2:3, то длина гипотенузы является суммой двух отрезков, длины которых соответствуют этому отношению, т.е. 2/5 и 3/5 от длины гипотенузы.

Таким образом, длина первого отрезка будет равна (2/5) * 10 см = 4 см, а длина второго отрезка будет равна (3/5) * 10 см = 6 см.

Радиус окружности, также известный как расстояние от центра окружности до точки касания, будет равен средней арифметической длин двух отрезков, т.е. (4 см + 6 см) / 2 = 5 см.

Таким образом, радиус окружности равен 5 см.

Совет:
Для лучшего понимания данной темы, рекомендуется работать с конкретными числами и проводить собственные вычисления. Это поможет вам лучше уяснить свойства прямоугольных треугольников и окружностей.

Задача на проверку:
В прямоугольном треугольнике окружность вписана так, что точка касания делит гипотенузу в отношении 3:7. Если длина гипотенузы равна 20 см, найдите радиус окружности.