Каков результат вычисления интеграла dx/√3x+2 при подстановке t=3x+2?

Тема: Интегралы

Инструкция:

Для вычисления данного интеграла мы будем использовать метод замены переменной. Очень часто замена переменной в интеграле позволяет упростить вычисления.

Для начала, нам необходимо выполнить замену переменной. У нас дано t = 3x + 2. Если мы хотим заменить переменную x на t, то нам нужно найти dx через dt.

Для этого, возьмем производную от обеих частей данного равенства по переменной t:

dt = 3dx.

Выразим dx через dt:

dx = dt/3.

Теперь мы можем приступить к подстановке в исходный интеграл:

∫dx/√(3x+2).

Заменим dx через dt/3:

∫(dt/3)/√(3x+2) = 1/3 ∫dt/√t.

Мы получили новый интеграл, в котором переменная t и его элемент dt. Для решения этого интеграла нам потребуется знание интеграла от функции 1/√t, которое составляет 2√t.

Продолжим решение нового интеграла:

1/3 ∫dt/√t = 1/3 * 2√t + C = 2√t/3 + C.

Теперь, чтобы получить итоговый ответ в исходных переменных, мы заменим t на 3x + 2:

2√(3x+2)/3 + C.

Где C - постоянная интегрирования.

Пример использования:

Найдите интеграл от функции dx/√3x+2 при подстановке t=3x+2.

Совет:

Чтобы лучше понять и научиться решать интегралы с помощью замены переменной, рекомендуется изучить теорию и примеры на тему интегралов, а также проводить больше практических упражнений по данной теме.

Упражнение:

Вычислите интеграл от функции dx/√2x+5 при подстановке t=2x+5.