Каков радиус шара, в который вписана треугольная правильная пирамида, если основание пирамиды равно 3 см, а высота

Содержание: Радиус шара, в который вписана треугольная правильная пирамида

Инструкция: Рассмотрим треугольную правильную пирамиду, в которую вписан шар. Чтобы найти радиус этого шара, мы можем использовать свойства подобных фигур.

Представим себе пирамиду с треугольным основанием. Предположим, что сторона этого треугольника равна 3 см. Для простоты обозначений, назовем сторону треугольника "s".

Три боковых грани пирамиды будут являться треугольниками, а высота пирамиды будет проходить через центр шара и до основания пирамиды, разбивая каждую боковую грань пополам. Обозначим высоту пирамиды как "h".

Теперь можно применить свойство подобных фигур: каждая боковая грань треугольной пирамиды подобна основанию пирамиды. То есть, отношение любой стороны одного из боковых треугольников к соответствующей стороне основания одинаково.

Поэтому, для каждого бокового треугольника имеем:

s/h = s/3

Чтобы найти радиус шара вписанного в пирамиду, нам нужно определить высоту "h" пирамиды. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения этой высоты.

h = sqrt(s^2 - (s/2)^2) = sqrt(3s^2/4) = (sqrt(3)/2)s

Теперь мы можем подставить найденное значение высоты в уравнение, связывающее сторону и высоту треугольника пирамиды, и найти радиус шара:

s/(sqrt(3)/2)s = s*(2/sqrt(3)) = (2*sqrt(3)/3)s

Таким образом, радиус шара, вписанного в треугольную правильную пирамиду с основанием 3 см, равен (2*sqrt(3)/3)s.

Пример:
Задача: В треугольной правильной пирамиде с основанием 5 см вписан шар. Найдите радиус шара.

Совет: Для понимания данной темы полезно вспомнить основные свойства подобных фигур. Также обратите внимание на использование теоремы Пифагора для нахождения высоты пирамиды.

Закрепляющее упражнение: В треугольной правильной пирамиде с основанием 6 см вписан шар. Найдите радиус шара.