Каков предел функции (3x^2 - x - 10) / (7x - x^2 - 10) при x стремящемся к 1 и при x стремящемся к бесконечности?

Тема вопроса: Пределы функций

Пояснение: Для нахождения пределов функции, когда переменная стремится к определенному значению или бесконечности, мы должны рассмотреть поведение функции вблизи этой точки или на бесконечности.

Предел при x стремящемся к 1:
Для начала подставим значение x = 1 в функцию:
(3*1^2 - 1 - 10) / (7*1 - 1^2 - 10)
Итак, получаем:
(3 - 1 - 10) / (7 - 1 - 10) = -8 / -4 = 2

Теперь рассмотрим предел при x стремящемся к бесконечности:
Для этого мы должны проанализировать коэффициенты наивысших степеней в числителе и знаменателе функции.
В данном случае, наивысшая степень в числителе и знаменателе равна 2, поэтому будем рассматривать только эту степень.
(3x^2 - x - 10) / (7x - x^2 - 10)
Делим каждый член на x^2:
(3 - 1/x - 10/x^2) / (7/x - 1 - 10/x^2)

Теперь, когда x стремится к бесконечности, мы видим, что коэффициенты 1/x и 10/x^2 стремятся к нулю, так как x^2 в знаменателе растет быстрее, чем x в числителе.
Также, коэффициенты 7/x и 10/x^2 также стремятся к нулю при стремлении x к бесконечности.

Итак, мы получаем следующий предел:
(3 - 0 - 0) / (0 - 1 - 0) = 3 / -1 = -3

Совет: Чтобы более легко понять пределы функций, рекомендуется изучить основные правила и методы вычисления пределов. Понимание понятия пределов может быть также полезным при изучении дифференциального и интегрального исчисления.

Практика: Найдите предел функции (2x^2 - 3x + 1) / (x - 1) при x стремящемся к 1.

Предел функции при x стремящемся к 1:

Для того чтобы найти предел функции при x стремящемся к 1, мы заменим x в функции на значение 1 и вычислим результат. Таким образом, мы получим:

(3 * 1^2 - 1 - 10) / (7 * 1 - 1^2 - 10) = (3 - 1 - 10) / (7 - 1 - 10) = (-8) / (-4) = 2

Таким образом, предел функции при x стремящемся к 1 равен 2.

Предел функции при x стремящемся к бесконечности:

Для того чтобы найти предел функции при x стремящемся к бесконечности, мы рассмотрим поведение функции при очень больших значениях x. Путем анализа коэффициентов в числителе и знаменателе можно заметить, что степень большего полинома в знаменателе (x^2) преобладает по сравнению с числителем. Поэтому, при x стремящемся к бесконечности, функция будет иметь вид:

lim (3x^2 - x - 10) / (7x - x^2 - 10) = lim (3x^2 / x^2) / (x^2 / x^2) = lim 3 / 1 = 3

Таким образом, предел функции при x стремящемся к бесконечности равен 3.

Рекомендация:

Для более легкого понимания нахождения пределов функций, рекомендуется изучать правила и свойства пределов, такие как правила арифметики пределов и правила вычисления пределов для различных типов функций. Также полезно тренироваться на решении множества задач, чтобы стать более знакомым с процессом нахождения пределов функций.

Задача для проверки:

Найдите предел функции (2x^3 - 5x^2 + 3) / (4x^3 + 2) при x стремящемся к бесконечности.