Каков объём тела, полученного вращением фигуры ограниченной прямой y = 8x и графиком функции y = 2x^3 вокруг

Предмет вопроса: Объем тела, полученного вращением фигуры вокруг оси

Разъяснение:
Для решения этой задачи, нам необходимо найти объем тела, полученного вращением фигуры ограниченной прямой y = 8x и графиком функции y = 2x^3 вокруг оси абсцисс.

Для начала, нам нужно определить интервал, на котором наши функции пересекаются. Приравняем уравнения функций и решим уравнение:

8x = 2x^3

2x^3 - 8x = 0

2x(x^2 - 4) = 0

Решим это уравнение:

x = 0 (корень с кратностью 2) или x = ±2 (два корня)

Теперь мы определяем, какая из функций находится сверху и какая снизу и в каком интервале. Мы видим, что функция y = 2x^3 находится сверху функции y = 8x на интервале [-2, 2].

Теперь мы можем использовать формулу объема для вращения фигуры вокруг оси абсцисс для нахождения объема:

V = ∫[a, b] π(R^2 - r^2)dx,

где a и b - это границы интервала, R - это радиус наружной функции, а r - это радиус внутренней функции.

В данном случае, R = 2x^3 и r = 8x.

Таким образом, объем тела будет равен:

V = ∫[-2, 2] π((2x^3)^2 - (8x)^2)dx

V = ∫[-2, 2] π(4x^6 - 64x^2)dx

Путем интегрирования данного уравнения, найдем ответ.

Например:
Вычислим объем тела, полученного вращением фигуры ограниченной прямой y = 8x и графиком функции y = 2x^3 вокруг оси абсцисс.

Совет:
Для лучшего понимания данной темы рекомендуется ознакомиться с материалами, связанными с интегралами и вращением фигур вокруг оси.

Задание:
Найдите объем тела, полученного вращением фигуры ограниченной прямой y = x и графиком функции y = x^2 вокруг оси абсцисс.