Каков объем и полная поверхность фигуры, полученной в результате вращения прямоугольного треугольника с гипотенузой

Тема: Объем и полная поверхность фигуры, полученной в результате вращения прямоугольного треугольника

Инструкция:
Чтобы найти объем и полную поверхность фигуры, полученной в результате вращения прямоугольного треугольника, мы можем использовать формулы для объема и поверхности вращения.

Для начала определим форму фигуры, полученной в результате вращения. Поскольку мы вращаем прямоугольный треугольник вокруг оси, проходящей через один из его катетов (пусть это будет катет "a"), мы получим конус с образующей, равной гипотенузе треугольника (пусть это будет "c").

Формула для объема конуса:
V = (1/3) * π * r^2 * h,
где "r" - радиус основания конуса, который равен половине длины основания прямоугольного треугольника (a/2),
а "h" - высота конуса, которая равна гипотенузе треугольника (c).

Формула для полной поверхности конуса:
S = π * r * (r + l),
где "l" - образующая конуса (c).

Теперь, когда мы знаем формулы, мы можем подставить значения и рассчитать ответ.

Демонстрация:
Допустим, длина катета "a" равна 6 см, а длина гипотенузы "c" равна 13 см.

Чтобы найти объем конуса, подставим значения в формулу:
V = (1/3) * π * (6/2)^2 * 13,
V ≈ 54.78 см^3.

Чтобы найти полную поверхность конуса, подставим значения в формулу:
S = π * (6/2) * ((6/2) + 13),
S ≈ 102.62 см^2.

Совет:
Чтобы лучше понять, как эти формулы работают, можно представить себе сам процесс вращения и визуализировать полученную фигуру. Также стоит хорошо знать значения различных математических констант, таких как число Пи (π).

Проверочное упражнение:
Найдите объем и полную поверхность фигуры, полученной в результате вращения прямоугольного треугольника с катетами длиной 5 см и 12 см вокруг оси, проходящей через один из его катетов длиной 5 см.

Тема: Вращение прямоугольного треугольника вокруг оси

Пояснение:
Для определения объема и полной поверхности фигуры, полученной в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг оси, нужно использовать формулы, связанные с вращением тел.

Объем фигуры, полученной в результате вращения прямоугольного треугольнико вокруг оси, можно вычислить с помощью формулы:

\[V = \pi \cdot r^2 \cdot h\]

где \(\pi\) равно примерно 3,14, \(r\) - радиус оси вращения (в данной задаче это длина катета прямоугольного треугольника), а \(h\) - высота фигуры (в данной задаче это длина гипотенузы прямоугольного треугольника).

Полную поверхность фигуры, полученной в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг оси, можно вычислить с помощью формулы:

\[S = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h + \pi \cdot r^2\]

где \(\pi\) также равно примерно 3,14, \(r\) - радиус оси вращения (в данной задаче это длина катета прямоугольного треугольника), а \(h\) - высота фигуры (в данной задаче это длина гипотенузы прямоугольного треугольника).

Дополнительный материал:
Пусть длина катета прямоугольного треугольника равна 5 см, а длина гипотенузы 13 см. Чтобы найти объем и полную поверхность фигуры, полученной в результате вращения этого треугольника вокруг одного из его катетов, мы можем использовать формулы:

Объем:
\[V = \pi \cdot r^2 \cdot h = 3.14 \cdot 5^2 \cdot 13\]
\[V \approx 1024.85 \, см^3\]

Полная поверхность:
\[S = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h + \pi \cdot r^2 = 2 \cdot 3.14 \cdot 5 \cdot 13 + 3.14 \cdot 5^2\]
\[S \approx 410.2 \, см^2\]

Совет:
Чтобы лучше понять концепцию вращения фигуры вокруг оси, вы можете представить, что вращаете фигуру в воздухе или на поверхности и наблюдать, как она меняет свою форму. Помните, что радиус оси вращения перпендикулярен треугольнику и проходит через его катет.

Задача для проверки:
Если длина катета прямоугольного треугольника равна 8 см, а длина гипотенузы равна 17 см, найдите объем и полную поверхность фигуры, полученной в результате вращения этого треугольника вокруг одного из его катетов.