Какое значение k нужно выбрать, чтобы векторы c=ka + 4b и d=a + kb стали коллинеарными?

Тема вопроса: Решение системы уравнений для определения значения k

Разъяснение: Чтобы векторы c и d стали коллинеарными, необходимо, чтобы их направления были параллельными или сонаправленными, что означает, что они должны быть пропорциональными.

Для решения этой задачи мы можем использовать систему уравнений. Известно, что вектор c равен ka + 4b и вектор d равен a + kb. Чтобы найти значение k, при котором векторы станут коллинеарными, мы должны найти такое значение k, при котором отношение соответствующих компонент векторов будет постоянным.

Составим систему уравнений:
ka + 4b = λ(a + kb),
где λ - постоянное значение пропорциональности.

Раскроем скобки и упростим уравнение:
ka + 4b = λa + λkb,
(4 - λk)b + (1 - λ)a = 0.

У нас есть два случая:
1) Если векторы a и b линейно независимы, то выражение (4 - λk)b + (1 - λ)a = 0 может быть равным нулю только тогда, когда каждый коэффициент равен нулю. Таким образом, получим систему уравнений:
4 - λk = 0,
1 - λ = 0.

Решив эту систему, находим λ = 1 и k = 4.

2) Если векторы a и b линейно зависимы, то выражение (4 - λk)b + (1 - λ)a = 0 будет выполняться для любого значения k и λ. В этом случае, выбирая любое значение k, мы добьемся коллинеарности векторов c и d.

Пример:
Задача: Найти значение k, при котором векторы c = ka + 4b и d = a + kb станут коллинеарными.

Решение:
Разложим векторы c и d:
c = ka + 4b,
d = a + kb.

Составим уравнение (4-λk)b + (1-λ)a = 0 и решим его.
(4-λk)b + (1-λ)a = 0,
4 - λk = 0,
1 - λ = 0.

Решим эту систему уравнений и найдем, что λ = 1 и k = 4.

Совет: Чтобы понять эту задачу лучше, полезно вспомнить определение коллинеарных векторов и основные свойства систем уравнений. Рисование графической интерпретации задачи может также помочь визуализировать концепцию коллинеарности векторов и найти решение.

Закрепляющее упражнение: Найти значение k, при котором векторы c = 3a + 4b и d = 2a + kb станут коллинеарными.