Какое значение k делает векторы a=i+j+2k и b=k×i-j+4k взаимно перпендикулярными?

Содержание вопроса: Векторы и их перпендикулярность

Инструкция: Для того чтобы векторы a и b были взаимно перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно нулю. Скалярное произведение двух векторов определяется следующим образом:

a · b = (a1 * b1) + (a2 * b2) + (a3 * b3),

где a1, a2, a3 - компоненты вектора a, а b1, b2, b3 - компоненты вектора b.

Используя заданные векторы a и b, мы можем вычислить скалярное произведение:

(a · b) = (1 * k) + (1 * -1) + (2k * 4k) = k - 1 + 8k^2 = 8k^2 + k - 1.

Теперь нам необходимо найти значение k, при котором скалярное произведение равно нулю:

8k^2 + k - 1 = 0.

Это уравнение является квадратным, которое можно решить различными способами, например, используя формулу дискриминанта или методы факторизации. Мы можем использовать формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac,

где a = 8, b = 1, c = -1.

Вычислим дискриминант:

D = (1)^2 - 4(8)(-1) = 1 + 32 = 33.

Теперь, решая уравнение с использованием формулы квадратного корня:

k = (-b ± √D) / (2a),

k = (-(1) ± √33) / (2 * 8).

Корни этого уравнения дадут значения k, при которых векторы a и b будут взаимно перпендикулярными.

Демонстрация: Найдите значения k, при которых векторы a = i + j + 2k и b = k × i - j + 4k взаимно перпендикулярны.

Совет: При решении уравнения для k, не забывайте использовать правила алгебры и проверять полученные значения в исходном уравнении.

Задача на проверку: Найдите значения k, при которых векторы a = 2i + 3j + 4k и b = ki + 5j - 2k взаимно перпендикулярны.